面向众核计算的数值方法协同设计--一种高效且高精度广义有限元方法研究

The work is motivated by the challenge in fully utilizing high floating point performance of the emerging manycore architecture. A fundamental trend of computer architecture evolving towards exaflop/s (10^18 floating point operations (flops) per second) is the fast increasing floating point performance (so-called "free flops") accompanied by much slowly increasing the capability of data movement. Numerical simulation is facing a challenge posed by the unbalanced increase in the compute power and the bandwidth. The tomorrow's numerical simulation is likely to be subject to a bandwidth constraint instead of a performance constraint. A numerical method of PDEs should be designed to request more flops per unit data movement so that the "free flops" are not sitting idle and wasted. A meshfree method is able to increase arithmetic intensity for the same number of dofs by increasing the influence radius or by increasing the accuracy of approximation and therefore it may bear a potential in utilizing the redundant floating point capability of the emerging manycore processor. This idea will be tried out on a GFEM without extra dof in this project.

超级计算机浮点运算能力的迅速提高和数据移动能力的缓慢增长已经形成了非常明显的"浮点效率鸿沟"。"浮点效率鸿沟"反映了传统数值算法（应用数学学科）与新兴硬件结构（计算机学科）之间发展的不平衡和不匹配。在目前的新兴众核处理器上，一个"高效"的数值算法应该使单位访存所完成的浮点运算次数最大化，从而尽可能地享受由这一轮技术变革带来的新的"免费午餐"--超强浮点运算能力。这极可能将导致数值算法设计在思路上、甚至原则上的根本性转变。本项目首次尝试面向新兴计算机体系结构，从充分释放众核处理器"冗余"计算能力的角度出发，发展一种新的高效且高精度（无额外自由度）的广义有限元方法，并针对无网格/粒子/广义有限元法等一类计算较为密集的数值算法，深入研究这种硬件效能和数值精度"双赢"的新型计算模式的普适性。

面向新兴计算机体系结构，从充分释放众核处理器“冗余”计算能力的角度出发，发展一种新的高效且高精度的广义有限元方法——无额外自由度广义有限元方法。将这一思想，成功应用于扩展有限元方法（XFEM）中，提出改进型XFEM（IXFEM）。基于IXFEM，开发出面向重大装备和工程构件的裂纹分析高性能、高精度数值模拟软件，该软件通过了天河2号大规模测试。将该软件应用于炸药结构件的裂纹扩展高精度分析、天生桥一级面板堆石坝地基断层接触-应力高精度分析等实际工程中。.XFEM是目前裂纹分析最流行、高效的数值方法，代表计算力学数值方法近20年来的主要进展。然而，在实际应用中XFEM仍然受到两方面的困扰：总体方程高度病态和动态裂纹扩展实施困难。困难根源在于单位分解插值引入的额外自由度。IXFEM基于一种无额外自由度的单位分解插值格式。该插值格式中，局部逼近采用最小二乘近似，但构造出的全局函数精确满足插值性质。IXFEM特点如下：（1）消除现有XFEM线性依赖性和总体方程病态问题；（2）避免动力学问题中额外自由度引起的质量集中问题和动态裂纹扩展过程中的能量守恒问题。结合二/三维静、动力学测试问题，与现有XFEM进行比较。数值测试表明：新方法在静、动力学两类问题计算中，继承和提高现有XFEM的高精度优点，给出目前为止精度最好的动态应力强度因子数值解，在数量级上提高总体方程迭代求解的收敛速度，解决动态裂纹扩展的质量集中问题和能量的正确传递问题。在三维裂纹问题中，三维IXFEM给出了精度优于XFEM的应力强度因子和裂纹扩展路径。.基于IXFEM，开发出面向重大装备和工程构件的裂纹分析高性能、高精度数值模拟软件。该软件二维模块通过天河2号千万自由度、千核大规模测试；三维模块通过天河2号上亿自由度、二千核大规模测试。将该软件应用于炸药结构件的裂纹扩展高精度分析，算法精度和程序能力得到实验验证。进一步地，又将该软件应用于天生桥一级面板堆石坝地基断层接触-应力高精度分析，验证算法与程序裂纹-接触计算能力。