曲率泛函的变分问题及稳定性

The study of curvature functionals on Riemannian manifolds has long history, variational and stable problems of Riemannian functionals are important in Differential Geometry. For a closed manifold M, the character of critical point can be described by the first variational formula, and we know from the second variational formula that whether the critical metric is stable. In this program, we will consider the following problems: (1) The standard metric on S^(n/2)×S^(n/2) is a critical point of The Weyl functional, when n≥8, we concern with its stability. (2) When p>2, using the first variational formula, we find some examples of critical metrics of p-th Gauss-Bonnet curvature functional, and calculate the second variational formula at the critical point, with considering the sign of the second variation on each subspaces of the vector space of all symmetric covariant (0,2)-tensorfields, we can judge the stability of the critical point.

黎曼流形上曲率泛函的研究有着很长的历史，而黎曼泛函的变分问题和稳定性问题是微分几何研究中的重要问题。对于闭流形M，通过泛函的一阶变分公式可以描述泛函的临界点的特征，而通过临界点处的二阶变分公式，可以了解该临界度量是否稳定。在本项目中，我们拟对如下的问题展开研究：（1）S^(n/2)×S^(n/2)上的标准度量是Weyl泛函的临界点，n≥8时，考虑该度量的稳定性。（2）当p>2时，利用一阶变分公式寻找p-th Gauss-Bonnet曲率泛函的临界点的例子，并计算在临界点出的二阶变分，考虑其二阶变分在对称的(0,2)型张量场构成的向量空间的各个子空间的正负性，进而判断该临界点是否稳定。

黎曼流形上曲率泛函的研究有着很长的历史，而黎曼泛函的变分问题和稳定性问题是微分几何研究中的重要问题。对于闭流形M，通过泛函的一阶变分公式可以描述泛函的临界点的特征，通过临界点处的二阶变分公式，可以了解该临界度量的稳定性。在本项目中，我们对如下的问题展开了研究：（1）我们研究了一类广义的Willmore泛函，并得到了其临界点的Gap定理。（2）我们证明了Fubini-Study度量是Weyl泛函的严格稳定的临界点。（3）我们研究了球面和环面上p-th Gauss-Bonnet 泛函的二阶变分情况。