高相对精度的矩阵分解与数值计算方法

针对高精度数值计算问题提出一些有效的新数值算法是目前热点研究课题。由于舍入误差的影响，许多传统的算法很难对一般的特征量给出高相对精度的数值解。而科学与工程计算中实际导出的系数矩阵通常具有某种特殊结构和性质。鉴于此，本项目将立足于工程计算、数值模拟等实际应用提炼出来的特征值问题、奇异值问题等，探讨高相对精度的数值计算及算法。我们将充分发掘、利用矩阵的内在特殊结构和性质，以及矩阵保性问题的研究，通过分量扰动分析与误差分析，给出决定矩阵高相对精度计算的参数，发展高相对精度的矩阵分解方法，并结合数值试验，提出新的、高效的、能高相对精度计算的数值算法。本项目的研究不仅在工程计算与高精度数值模拟等实践中有着重要的应用价值，而且也是计算数学的一些热点、难点问题，其研究内容实用而又有趣。

本项目的主要研究目的是探讨矩阵的分解及其精确性问题；采用的研究方法是充分发掘与利用矩阵的内在特殊结构和性质，结合矩阵保性问题的研究，通过分量扰动分析与误差分析，给出决定矩阵高相对精度计算的参数，发展高相对精度的矩阵分解方法；研究内容主要包括研究矩阵的模式结构和性质分析、高相对精度的矩阵分解及高相对精度数值计算。幸运地是，目前我们已分别在矩阵的模式结构、矩阵分解、矩阵的保性问题、矩阵分解的误差分析、高相对精度的参数刻画及高相对精度的数值计算等方面均取得了较好的研究成果。我们给出了结构矩阵的零模式不变刻画；针对几乎完全符号正规矩阵给出了完整的代数结构刻画；给出了几乎完全非奇异矩阵的双对角分解；给出了一类与完全非正矩阵相关的特殊符号正规矩阵的双对角模式刻画；给出了保符号结构的符号正规矩阵分解；针对对称完全非正矩阵及其逆矩阵这类非正定矩阵，提出了一类新的选主元技巧，使得得分解因子是良态的，从而确保数值计算的精确性；我们给出利用Bunch-Kaufman部分选主元技巧分解一类对称符号正规的增长因子界定；我们给出了求解一类符号正规线性系统的分量误差分析；我们也给出了完全非负矩阵的块LU分解的分量误差分析；我们利用模式结构刻画成果，得到了完全非正矩阵的高精度计算的参数刻画，并利用该结果给出了完全非正线性系统的高精度计算;我们解决了Higham提出的公开猜想问题，给出了对角占优三对角线性系统的高精度求解。