概率框架下Soboev空间的函数逼近问题及Paley-Wiener空间中采样与插值的研究

This proposal contains two parts. In the first part, we investigate the approximation of functions on the interval [-1,1]，the sphere S^d and the ball B^d in the probabilistic case setting. We will estimate the asymptotic order of the Kolmogorov and linear widths of Sobolev classes and the asymptotic orders of the probabilistic error estimations. This results play a role in the theory of approximation of functions. The second part is devoted to studying the important weighted inequalities and the sampling and interpolating sequences for the weighted Paley-Wiener space. We will give some necessary density conditions for sampling and interpolating sequences. These results are widely used in approximation theory and harmonic analysis and compressed sensing.

本项目主要研究区间[-1,1]，球面S^d, 球体B^d上Sobolev空间在概率框架下的函数逼近问题，给出概率框架下Sobolev空间的函数逼近、宽度、最优求积及最优恢复的渐近阶，再通过比较概率框架与最坏框架和平均框架下函数逼近和恢复的异同点，为函数逼近理论提供重要的理论及应用价值。另一部分研究内容是加权Paley-Wiener空间中的采样与插值和一些重要的加权不等式，给出采样和插值序列的必要密度条件。该研究内容与函数空间理论、逼近论及热门的压缩感知理论都有密切的联系。

本项目主要研究了概率框架下区间[-1,1]和球体B^d上带有高斯测度的加权Sobolev空间在加权的L_q (1≤q≤∞)空间中的概率线性宽度。得到了概率框架下，区间[-1,1]上带Jacobi权的Sobolev空间在加权Lebesgue空间尺度下的线性宽度的渐近最优阶。得到了概率框架下，单位球体B^d上加权Sobolev空间在加权的L_q (1≤q≤∞)空间中的线性宽度的渐近阶，还得到了平均框架下加权Sobolev空间在加权的L_q (1≤q≤∞)空间中的p-平均线性宽度。.另外，本项目研究了倍权Paley-Wiener空间中的采样与插值，给出了采样集和插值集的必要密度条件。还在Paley-Wiener空间中建立了倍权极大值不等式，并且在这个基础上证明了各种重要的倍权不等式，如Bernstein型,Schur型,Plancherel-Pólya型不等式，Logvinenko-Sereda定理及Christoffel函数，以及A_\infty权情况下的弱Remez型和Nikolskii型不等式。.已经完成4篇文章，其中1篇发表于SCIE杂志Journal of Inequalities and Applications，1篇核心，另外投稿1篇，待投稿1篇。研究成果在函数空间理论、逼近论、计算复杂性等领域都有重要的理论意义和应用价值。成果在宽度理论中有重要的作用，在函数逼近理论，微积分方程数值解，统计估计等学科中都有广泛的应用。