退化型和带奇异性非线性偏微分方程的微局部分析

本项目主要研究以下四个方面的问题：一、非线性Boltzmann方程的解的正则性；二、退化椭圆型Monge-Ampere方程、Heissan方程以及Heisenberg群上的完全非线性偏微分方程的解的正则性；三、奇异性流形上的非线性偏微分方程的解的存在性和正则性；四、复域中的非线性奇异方程的形式解及可和性。上述四方面的问题的共性是退化型或者带奇异性的非线性方程，而微局部分析是七十年代发展起来研究这一类非线性方程的有效方法。因此，本项目的特色是利用项目申请人过去在这方面的工作积累，将微局部分析等调和分析方法应用于研究上述非线性问题。我们已经在这些问题上得到了一些很好的结果，因此本项目的立项是有坚实的基础的.

在本项目的资助下，我们正式发表了SCI论文17篇，另外还有已接收发表论文2篇，已完成及投稿5篇。我们主要开展了以下几个方面的工作：1. 非线性Boltzmann方程的研究：我们应用微局部分析方法研究解的存在性及正则性，建立了Boltzmann方程的完整的谱理论，证明了Gelfand-Shilov正则性；2. 完全非线性方程的研究：我们研究了退化Hessian方程的局部可解性，给出了多项式解的一个分类以及扰动光滑解的存在性；3. Prandtl边界层方程的适定性：我们在单调性条件下用能量积分方法证明了Prandtl方程的适定性；4. 奇异流形上的非线性偏微分方程的解的存在性和正则性研究：我们利用现代变分方法得到了带锥奇异型和楔奇异型流形上的半线性偏微分方程的正解存在性以及多解存在性结果；5.复域中的非线性奇异方程：我们得到了方程形式解的可和性与一类n个复变量的超几何级数的和函数的积分表示.