与Bose-Einstein凝聚态相关的分数阶方程组的解及其迭代算法研究

Fractional partial differential equations related to Bose-Einstein Condensates (BEC) are an important research field in nonlinear science. In this project, we intend to use nehari manifold method, critical point theory, category theory, morse index and fixed point index theory to study the solutions of several kinds of fractional partial differential equations related to BEC. These models are derived from fractional quantum mechanics and have important theoretical background and application value. However, the absence of compactness conditions, the emergence of non-local operators and infinite-dimensional strongly indefinite structures make it difficult to study these models mathematically. In this paper, we first consider the properties of positive solutions of non-cooperative autonomous systems with strongly indefinite structures and nonlocal terms; then we study the semi-classical problems of noncooperative fractional systems with potential terms; finally, we use fixed point theory to study the solutions and iterative algorithms of a class of fractional systems without variational structures. We will analyze and summarize the common characteristics and new difficulties of this kind of problems with non-local operators, and explore new research methods.

与Bose-Einstein凝聚态（简称BEC）相关的分数阶偏微分方程组是非线性科学的一个重要研究领域。本项目拟利用Nehari流形方法、临界点理论、畴数理论及Morse指标等变分方法以及不动点指数理论研究几类与BEC相关的分数阶方程组的解。这些模型均来自分数阶量子力学，具有重要的理论背景和应用价值。但是，紧性条件的缺失、非局部算子以及无穷维强不定结构的出现使得这些模型的研究在数学上有一定的难度。本课题首先考虑带有强不定结构和非局部项的非合作自治系统正解的性质；进而研究带位势项的非合作分数阶系统的半经典问题；最后利用不动点理论研究一类不具有变分结构的分数阶系统的解及其迭代算法。我们将分析和总结这类带非局部算子问题的共同特点和新的困难，探索新的研究方法。

与 Bose-Einstein 凝聚态相关的非合作分数阶偏微分方程组是近年来学术界研究的热点问题之一，其能量泛函具有无穷维的不定结构，是典型的强不定问题。处理无界区域上的强不定问题，非线性部分失去紧性，又带有分数阶拉普拉斯项，这样的问题已公认为是变分学中具有挑战性的前沿问题，对该系统进行研究既有理论意义又有实际应用价值。.为了研究带小参数的非合作奇异摄动分数阶系统的半经典问题，我们首先探讨了其自治系统解的性态。通过构建合适的工作空间，并进行空间分解，验证了其能量泛函满足环绕结构，运用强不定泛函定理和集中紧性原理找到了该自治系统的基态解；使用Morse迭代技巧对这组解进行了正则性提升；借助非局部算子基本解的性质得到了这组解的幂次衰减形式以及关于零点径向对称。与经典情形相比，由于非局部算子的出现，推导过程更复杂、更精细。.在上述结果的基础上，我们探讨了带有位势项的非合作奇异摄动分数阶系统，当非线性项超线性、次临界增长，位势函数分别在全局和局部条件下，该系统解的存在性和集中行为。在全局条件下寻找解，运用了环绕定理，但是由于位势项的干扰，PS条件的验证是个难点。通过研究原问题与其极限问题极小能量间的关系、对位势项进行截断、考虑辅助问题等手段找到了原问题的基态解，并证明了这组解集中在位势函数的全局极小点集上。在局部条件下研究该系统的解和集中行为，我们对两个非线性项进行截断，考虑了罚非线性项以及相应的罚问题。通过构建k个局部Nehari型流形并对其进行性质分析，得到了罚问题解的存在性。再对该组解的特点进行研究，证明了这组解也是原问题的解且在位势函数的局部极小值点集上集中。.最后，广义惯性Mann算法被构建，用来求解分数阶薛定谔方程的基态解，该算法被证明具有低计算复杂性和全局收敛性。针对不同的参数s，进行了数值实验，实验表明该算法求解成功率高，运算速度快，数值解的形状与理论推导的基态解性质吻合。