带有分数阶Laplace算子的高阶方程及方程组解的性质与结构的研究

The fractional Laplacian equations derive from the application models of mathematics，physics and biology. In recent years problems related to fractional Laplacian is one of the hot issues. It is important to study the properties of solutions. But so far, the effective methods are only the Caffarelli-Silvestre’s extension method and Chen-Li-Ou’s method of moving planes in integral forms, which have some limitations to the fractional Laplacian. We directly apply method of moving planes in differential forms to nonlinear equations involving the fractional Laplacians. We extend index of Laplacian, and weaken the global bounded-ness condition. At the same time, we circumvent the difficulty of establishing the equivalence between differential equations and integral equations. We will solve the following important problems: the positive solutions of the nonlinear system involving fractional Laplacian are nonexistent, the positive solutions of the high order nonlinear equation involving fractional Laplacian are nonexistent in subcritical case, and the positive solutions of the fully nonlinear system are nonexistent. The method for above systems should hopefully be able to apply to more general system, and promote Lane-Emden conjecture research.

分数阶Laplace算子问题来源于数学，物理以及生物中许多应用型模型，也是当今数学中的研究热点之一，对于其解的性质的研究具有重要意义。但是到目前，对其研究有效的方法只有Caffarelli和Silvestre提出的extension方法以及Chen，Li和Ou提出的积分形式的移动平面法，以上方法对于解决分数阶Laplace算子具有一定局限性。这里我们使用对Laplace算子直接应用移动平面的方法，延拓了算子的阶数，弱化了解全局有界要求，并且避免了积分方程与微分方程等价性的复杂证明。这里我们主要解决以下几个重要问题：带有分数阶Laplace算子的非线性高阶方程正解的不存在性，带有分数阶Laplace算子的非线性方程组解在次临界情形下正解的不存在性以及完全非线性方程(组)正解的不存在性。我们对于方程组方法的研究，有望应用到该类方程(组)更一般问题中，并促进Lane-Emden猜想的研究。

分数阶Laplace算子问题来源于数学，物理以及生物中许多应用型模型，也是当今数学研究中的研究热点之一，与金融、概率、分子动力学、相对量子力学以及疾病传播的研究密切相关，对于其解的性质的研究具有重要意义。本项目使用对分数阶Laplace算子直接应用移动平面法，延拓了算子的阶数，弱化了解全局有界要求，并且避免了积分方程与微分方程等价性的复杂证明。我们主要研究了带有分数阶Laplace算子的非线性高阶方程，首次推得了带有分数阶Laplace的高阶算子的格林函数，且克服了推导相关格林函数性质的困难，结合使用Chen-Li-Ou的积分形式的移动平面法，得到了正解的不存在性，其中狭窄区域极值原理是我们研究问题的关键；我们还研究了全空间中带有分数阶Laplace算子的非线性方程组，在解的非常弱的正则性假设下，结合使用Kelvin变换与直接的移动平面法，得到了在次临界情形下正解的不存在性以及临界情形下解的对称性，这类方程组与Lane-Emden系统联系紧密，此方程组问题的解决也为Lane-Emden猜想的解决提供了新思路。同时，我们还可以把此类方程组问题延拓到其他的一致椭圆的非局部算子，以及上半空间中的相同方程组问题。结合全空间以及上半空间的研究结果，我们可以继续研究得到，在欧氏空间中的有界区域上的一族非局部算子解的先验估计。