拟对称映射相关的几个问题的研究

In this project, we mainly study quasisymmetrically minimal sets and quasisymmetrically infinity sets in Euclidean spaces, discuss various weight functions in doubling metric measure spaces. It is a cross subject of fractal geometry, quasisymmetric mapping and doubling measure. We will solve the following questions: (一) Give a geometrical characterization of 1-dimensional quasisymmetrically minimal sets on the line; (二) Answer the question whether there is a set E with Hausdorff dimension 1 in the n-dimensional Euclidean space such that E is a quasisymmetrically infinity set; (三) Study the definitions，properties and applications of all kinds of weight functions in doubling metric measure spaces. These questions discuss quasisymmetric mappings from different views. The research of these questions can not only promote the development of quasisymmetrical theory but also enrich fractal geometry. We will apply the knowledge and skills about fractal geometry, quasisymmetric theory, quasiconformal theory, geometrical measure theory, harmonic analysis and so on. We will do our best to think, debate and settle these questions.

本项目主要研究欧氏空间中的拟对称极小集和拟对称无穷集，同时讨论一般加倍测度空间中的各类权函数，属于分形几何与拟对称映射以及加倍测度的交叉课题。我们拟解决如下几个问题：（一）描述直线上的1-维拟对称极小集的几何特征；（二）回答n维欧氏空间中是否存在Hausdorff维数为1的拟对称无穷集；（三）讨论一般加倍测度空间中的各类权函数的等价描述、性质及应用。这些问题从多个不同角度研究拟对称映射，问题的解决将推动拟对称理论的发展，也将丰富分形理论。我们将综合应用分形几何、拟对称理论、几何测度论、拟共形理论及调和分析等的知识和技巧，积极思考探讨，努力解决这些问题。

本项目最初拟研究拟对称极小集、拟对称无穷集以及加倍测度的权函数，属于分形几何与拟对称及加倍测度交叉的课题，这是当前较活跃的一个数学分支。在该项目的研究中我们的计划有所调整，主要研究了下面几个问题。.研究了Sierpinski地毯S上的自相似测度及Markov测度的加倍性质，同时刻画了S上加倍的自相似测度和Markov测度。下一步，拟研究加倍测度的权函数，从一些较好的权函数出发刻画其加倍的条件。.研究了数字限制集的维数和拟对称极小性，给出了广义数字限制集的上、下Assouad维数公式以及一般数字限制集为拟对称极小集和拟对称厚（零）集的充分条件。下一步，拟继续寻找1-维拟对称的例子。.研究了非紧空间上加倍测度的性质，得到了加倍测度的局部熵和集合的Bowen熵之间的关联。.研究了分形方块的拓扑Hausdorff 维数和量纲问题，得到了分形方块类（9块留m块，m<8）的拓扑Hausdorff 维数公式以及分形方块（9块留6块）拓扑分类和Bilipschitz等价类。.下一步，我们拟进一步考察分形方块的拟对称等价类。.研究了拟对称映射对分形集的分形维数的影响和改变，证明了在n维欧式空间中拟对称映射可将A ssouad维数>0的集映为A ssouad维数任意接近n..这些问题从不同方面研究拟对称映射，研究的内容和结果丰富了分形几何和加倍测度理论，也推动了拟对称映射的进一步研究。