多复变数中的偏微积分方程及热核研究

In this project, we will study the partial differential-integral equations and the heat kernel in several complex variables. Our study concern with the singular integral equations with Bochner-Martinelli kernel, the Stein manifolds、the Finsler manifolds、the approximate and the parameterized manifolds、the mixed boundary with angular points and so on. We will introduce the symmetrical Dirac operator, establish the connections between the vector clumps、the higher and the lower order integrals, then we will apply the inverted formula and the permutation formula to discuss the existence、the convergence、the stability of the solutions of the singular integral equations. We also will set up the connection between the integral kernels with fractional order and the integer order. Later we will use the method of the operator iteration and others to study the singularities of the fractional and the displacement integrals. Moreover we will try to obtain the regular and the recursive expression of the integral, and we will obtain the approximate solution of the equation. We also will study the system of the equations by means of the method of the integral transformation and the appropriate expression of the matrix. Our research also will concern with the initial value problem and the construction of the heat kernel in several complex variables. We will establish the Hamiltonian system under the given operators, then we will apply some special algebra method and the Theorem of the representation of the group to solve the initial value problem, we will obtain the eigenvalues and the solution of the system. Moreover we will construct the Lagrangian function、the energy function and the heat kernel under the given boundary conditions.

本课题研究多复变数中的偏微积分方程及热核。研究涉及带Bochner-Martinelli核的奇异积分方程、Stein流形、Finsler流形、含参变量的近似参数流形、有角点的混合边界等。我们将引进对称的Dirac算子，通过建立向量丛及高、低阶积分之间的联结关系，运用反转公式和置换公式等讨论奇异积分方程解的存在性，收敛性及稳定性。我们还将建立分数阶与整数阶积分核之间的联系，运用算子的迭代等方法研究分数阶积分、带位移积分的奇异性，获得规范的、递推的积分表达式及方程的近似解。我们还将借助特殊的积分变换和适当的矩阵表示方法，研究积分方程组的解。研究还涉及多复变数中偏微积分方程的初值问题及热核的构造。我们将建立特定微分算子下的Hamiltonian系统，并运用特殊的代数方法和群表示理论的性质解初值问题，得到特征值和该系统的解，在适当的边值条件下构建Lagrangian函数、能量函数及相应的热核。

积分变换是多复变数中的一个重要分支。在特定几何背景下研究含不同积分核的积分意义深刻。特别地，对多复变数中热核的研究具有广阔前景。研究中，我们讨论积分方程的近似解，并致力于探讨含多重指标的Cauchy-Fantappiè核的积分。我们建立了高维导数之间的联系，引进相应边界上适宜的密度函数和特定的边界积分条件，对边界上整体和局部的几何性质与联系作了深入分析。通过矩阵的构造，运用积分估计，讨论积分的收敛性质，进而，获得极限值公式。通过交换积分次序方法的运用，我们获得了含内、外层积分的置换公式。本课题还涉及Dirichlet问题，包含对Chern–Ricci形非线性椭圆方程及边界性质的讨论。在对解的存在性研究中，对梯度作了估计，对二阶导数作了细致推导和计算，建立了相应方程之间的联系，证明了相关定理。借助Cartan理论的思想，本课题还讨论了强拟凸复Finsler矩阵、复的Berwald矩阵所具备的必要与充分条件，在强拟凸的情形给出使这类复Finsler矩阵成为投影旗Finsler矩阵或对偶的旗Finsler矩阵的特征。研究还运用了李群及李代数的一些方法，建立了子群间的单位联络与不变向量丛之间的联系，推广了Lie群及李代数在几何上的一些应用，并将其运用于研究复的偏微分方程及特定的积分方程。