特殊介质的第二代小波有限元/配点法自适应GPR正演及多尺度全波形双参数反演

It is difficult for conventional numerical algorithms to solve the singularity in the GPR wave propagation problems. This proposal will present a new update for the conventional wavelet method to construct its improved second version. Using second version wavelet as basis functions of the wavelet finite element and collocation method, the posteriori error estimate algorithm, unstructured grids, basis functions on the forward modeling grid can be adaptively refined and coarsen so that we can catch the local properties of the singularity in the GPR wave propagation problems. This new modeling approach will accurately and fast solve GPR forward problem .. Through extracting GPR anomalous information from multiple parameter compound feature and combining with background GPR response by decomposing wavelet multiple scale, we can get the better original model which can lead GPR inversion in a small neighborhood of the real model. Meanwhile, in order to improve the reliability of the inversion algorithm, regularization method is used to construct the objective function which applies the constraints of geological attributes, the parameter limit and smoothness. Wavelet multiple scale inversion is used to rebuild model dielectric constant and the conductivity dual parameter. Solution of the large scale equations and calculation of the partial derivative matrix are pre-processed in wavelet domain. The compact support and orthogonality of wavelet can guarantee the sparsity of coefficient matrix, the memory will be compressed by threshold calculation. Combining with the parallel technology our new inversion scheme will improve the speed significantly. Therefore, it is foreseeable that this research will have vast applications.

由特殊介质(频散、各向异性、随机)构成的奇异性GPR波传播问题，常规数值算法求解困难。为此，本项目通过提升方案构造最优第二代小波，作为小波有限元/小波配点法的基函数，将后验误差估计算法与非结构化网格/自适应配点相结合，由粗及细动态调节网格大小、小波阶数和小波尺度，从而有利于捕捉解的局部突变特征，实现GPR正问题的高效求解。.通过多参数复合特征提取GPR异常，融合大尺度分解获取的背景信息，得到较好的初始模型，把反演引入到距真实模型很小的邻域内。同时，施加地质属性约束、参数界限约束、光滑约束等多信息交叉的目标函数正则化构造方法，提高算法可靠性，利用小波多尺度反演重建模型介电常数、电导率双参数。对大型方程组的求解、偏导数矩阵的计算都在小波域中预处理，小波的紧支性、正交性使系数矩阵极度稀疏，通过阈值运算，极大压缩内存，结合并行计算技术，提高算法效率。可以预见，该研究必将具有广阔的应用前景。

应用小波有限元开展GPR正演模拟中，并采用多尺度、全波形来进行GPR反演，取得了一系列成果，具体包括：(1) 基于复频移PML的各向异性介质的非结构化网格有限元正演，对GPR复杂介质正演模拟形成了有益的补充。(2) 将第二代小波有限元引入探地雷达的正演模拟中，以提升方案构造的第二代小波尺度函数代替多项式函数作为有限元基函数，具有多尺度、多分辨的特性。(3) 将自适应多尺度小波配点法(AWCM)应用到探地雷达正演模拟中，具有多尺度分解和快速变换的特点，可以使计算网格随着时间步适应解的移动和变化，允许计算资源更有效地使用，具有高压缩率，达到跟踪奇异性的目的。(4) 应用迭代插值方法构造了插值小波尺度函数，并将该尺度函数的导数用于离散Maxwell方程组的空间微分，使用四阶Runge-Kutta(four order Runge-Kutta，RK4)算法计算时间导数，提高了GPR波动方程的空间与时间离散精度。(5) 基于可分离小波理论，由一维区间B样条小波尺度函数的张量积构造二维B样条小波基，并将它作为GPR波动方程求解的插值函数。将BSWI算法应用于双相随机混凝土模型，能更真实地模拟雷达波的传播过程，可为提高GPR的探测效果和解释准确性提供理论基础。(6) 应用GPU并行加速策略，在普通微机上实现了GPR二维时间域的全波形、双参数(介电常数和电导率)反演。为进一步优化反演算法，应用多尺度串行反演策略，将反演问题分解为2-3个从低频至高频的逐频带多尺度反演，从而避免反演陷入局部极值，有利于搜索全局极值点。(7) 针对地面探地雷达反演数据量大、内存要求高的问题，提出了一种全变差正则化的频率域L-BFGS的GPR全波形反演算法。有效地消除图像重建中的非物理振荡和伪影，显著提高缺陷解释的准确性和评估复杂程度。(8) 项目研究已发表论文26篇，其中SCI检索17篇，EI检索6篇，培养毕业研究生8名，申请发明专利8项，出版专著3本，参加国际会议6次。通过本项目的实施，形成了一套具有实际应用的小波有限元正演模拟和多尺度、全波形双参数反演方法，为大规模、复杂介质的GPR反演提供了理论基础和技术支撑。