多层级联量子码的稳定子理论研究

Quantum error-correcting codes are necessary to reliable quantum communication and reliable quantum computation, but constructing powerful codes with low complexity in encoding and decoding is evidently the central question of coding theory. Considering the success of multilevel concatenated codes in classical information system, in this project, we are planing to introduce the multilevel concatenation into the quantum coding theory based on the stabilizer formalism. More precisely, we are going to explore: (1) The constitution of the generators and logical operators associated with the stabilizers for multilevel concatenated quantum codes (MCQCs). (2) Derive the parameters of the resultant MCQCs (such as the achievable rate and the minimal distance) and give corresponding poofs. (3) Construct MCQCs which have good trade-off among rate, distance, encoding and decoding costs. Summary, we are aiming to develop the stabilizer formalism for MCQCs, thereby offering a new perspective for the MCQC framework as well as a powerful and systematic technique for constructing good stabilizer codes to reduce requisite space and time resources for reliable quantum information processing, thus providing a strong support for the reliable quantum communication and reliable quantum computation.

量子纠错码是实现可信量子通信和可信量子计算的关键。而如何构造具有优良纠错能力，且具有较低编、译码复杂度的纠错码则一直是编码领域的核心问题。考虑到多层级联码在经典信息系统中的成功，本项目拟基于量子码的稳定子理论，深入研究码的多层级联架构在量子纠错码中的应用。具体包括: (1) 多层级联量子码的稳定子及其相应的逻辑操作算子的构建。(2) 多层级联量子码的参数推导（包括可达码率和最小码距）, 给出相应的理论证明。(3) 构造"好"的多层级联量子码，使其在码参数，以及编、译码复杂度方面取得良好平衡。言而总之，我们希望通过建立多层级联码的稳定子理论，提供一个新的视角来深入理解这种具有多层级联结构的量子码，给我们系统的设计和构造好的量子纠错码带来新的启示和思路，从而降低可信量子信息处理所需的时间和空间资源，为可信量子通信和量子计算提供保障。

近年来，量子信息的研究进展吸引了越来越多的关注。而关于量子计算的研究成为这一领域的核心方向之一，目前距离可扩展的通用量子计算机的实现还有很长距离，其关键原因就是外界噪声的干扰。为此，必须加紧对量子差错控制的研究，这其中关键的核心技术就是量子纠错编码。值得注意的是，级联量子纠错编码一直被认为是实现容错量子计算的重要途径。.本课题，在以往级联量子纠错码研究的基础上，开展了多层（广义）级联量子纠错编码研究。主要做了如下工作：.1. 给出了多层级联量子码的稳定子理论，我们发现如果给定内码的初始码及其级联结构，外码的稳定子，那么就可以构造出相应的多层级联量子纠错码的稳定子体系，包括对应的逻辑算子。.2. 结合多层级联量子码的稳定子体系，我们推导出了给定内码与外码的情况下，所得到的多层级联量子码的码率，码长，以及最小距离的下限；分析给出外码的简并性对所得的多层级联量子码所带来的影响；并给出了完整的证明过程。.3. 结合前面两步我们所得到的结论，我们给出了“好”的量子码的构造方法，特别是如何巧妙的采用对内码级联的“基”变换得到码距超过最小距离下限的多层级联量子码。.我们所取得的上述研究结果对于量子纠错编码，容错量子计算的科学意义如下：.1. 通过多层级联量子纠错码的稳定子理论构建，一方面为研究多层级联量子码的结构奠定了坚实的基础，另一方面也为多层级联量子纠错码的译码打下扎实基础，这是因为，量子纠错码往往是采用基于错误图样的译码策略，而错误图样的取得的前提正是多层级联量子码的稳定子体系的建立。.2. 我们所推导得到的多层级联量子码的码距下限对构造多层级联量子“好”码有重要的指导意义。.3. 通过对多层级联量子码的稳定子理论研究，使我们在将其应用于容错量子计算的道路上，大大前进了一步，给我们设计容错量子计算的体系结构提供了重要参考。