结合共形代数的循环上同调理论

本项目主要利用结合代数的同调理论，在pseudo张量范畴下，研究结合共形代数的Hochschild上同调和循环上同调。首先研究 Cend(M) 和自由结合共形代数 CF(B,N) 的Hochschild上同调和循环上同调，做好基础和铺垫工作；其次探讨交换结合共形代数的Hochschild上同调和循环上同调的Hodge分解，并研究这两个上同调的代数和余代数结构；最后研究结合共形代数smash积的Hochschild上同调和循环上同调。

在循环同调方面，我们找到了一个阶化Hopf 代数，证明了阶化微分代数范畴和这个阶化Hopf 代数上的阶化左余模范畴作为张量范畴是等价的。通过计算这个阶化Hopf 代数的阶化Hopf-循环上同调，利用特征映射，我们构造出含有封闭阶化迹的阶化微分代数的循环上圈。另外，我们关于柱形模给出了一个广义shuffle映射的明确的公式。使用这个公式，我们给出了广义循环Eilenberg–Zilber 定理的一个组合证明。在共形代数方面，我们引入了Leibniz共形代数的表示的概念，我们构造了Leibniz共形代数的系数在其表示上的一个新的上链复形。我们证明了这个新的上链复形的二上同调群能更自然地解释Leibniz共形代数扩张的分类。同时，我们从Leibniz共形代数构造了一个Leibniz代数，并且证明了Leibniz共形代数的范畴与形式分布Leibniz代数的等价类范畴是等价的。另外，我们还给出了李共形超代数上链复形的一个精确构造，并且用扩张解释了这个上链复形的低阶上同调。最后，我们计算了Neveu-Schwarz 共形超代数的系数在一维平凡模上的低阶上同调。在算子代数方面，我们引入和研究了非局部顶点代数的迭代扭张量积，我们找到了构造三个因子的迭代扭张量积的条件，并且证明了这些条件足够用来构造任意个因子的迭代扭张量积。在有限群方面，我们也做了很多工作，比如对有限群的共轭类长及可解性做了研究，将Alan Camina的关于共轭类长的定理做了推广，给了一些有限群如Mathieu群和某些线性群的一个新的刻画。