双圆盘Hardy空间子模及算子对研究

The operator theory on analytic function spaces is an active research direction in functional anlaysis. On one hand, the operator model theory of Nagy-Foias indicates that many classic operator theoretical problems can be solved via the operators on the vector-valued Hardy space over the unit disk; on the other hand, the introduction of function theory, complex geometry, multivariable complex analysis and topology made this field a strong interdisciplinay character. Recently, multivariable operator theory received a great attention, however, a concrete model is still missing. This project will study submodules of Hardy space over the bidisc and the operator pairs, and the goal is to make it to be an effective model for multivariate operator tuples. We will focus on:1.The relationship between submodules of Hardy space over bidisc and operator pairs. We will study the Fredholmness, Fredholm index for two variable Jordan block, and Berger-Shaw theorem over bidisc through the submodules generated by single function. 2. In order to understand the analytic structure of operator pairs of submodule of Hardy space over bidisc, we will study the general commuting isometry pair, the goal is to clarify the differences between them. Lastly, we will construct the invariant spaces and reducing spaces of the general commuting isometry pair by their characteristic function.

解析函数函数空间上的算子理论是泛函分析领域的活跃方向。一方面，Nagy-Foias的算子模型论表明可以用单位圆盘上向量值Hardy空间上的算子理论来解决经典的算子理论问题，另一方面，函数论、复几何、多复分析、拓扑等方法和思想的引入，使其具有很强的交叉学科的特点。近年来，多元算子论受到了极大的关注，但是还没有一个具体的模型。本项目拟研究双圆盘Hardy空间子模及其上的算子对，目标是使其成为多元算子论的一个有效模型。主要包括：1、双圆盘Hardy空间子模和算子对之间关系。通过由单个函数生成的子模来研究两个变量Jordan块的Fredholm性、Fredholm指标和双圆盘上的Berger-Shaw定理。2、为了理解双圆盘Hardy空间子模上算子对的解析结构，本项目拟研究一般的交换等距算子对，弄清楚二者之间的区别。最后，进一步利用特征函数来构造不变子空间和约化子空间。

解析函数函数空间上的算子理论是泛函分析领域的活跃方向。一方面，Nagy-Foias的算子模型论表明可以用单位圆盘上向量值Hardy空间上的算子理论来解决经典的算子理论问题，另一方面，函数论、复几何、多复分析、拓扑等方法和思想的引入，使其具有很强的交叉学科的特点。由于Bergman空间中函数不具有边界值性质，但是可以将Bergman空间提升到双圆盘Hardy空间中去，因此双圆盘Hardy空间的研究对不变子空间问题有重要的推动作用。本项目研究了双圆盘上Hardy空间上的算子理论，主要取得了以下研究成果：（1）得到了模型空间上以二阶Blaschke乘积为符号的截断Toeplitz算子可约性的充要条件。（2）完全刻画了C0(2)算子的约化子空间。（3）对于(n,1)型的有理内函数，得到了双圆盘Hardy空间Beurling型商模上的压缩移位算子 可约性的充分必要条件，并讨论了一般的有理内函数的情形。