点传递图中若干问题的研究

Every Cayley graph is vertex-transitive. However, there are vertex-transitive graphs which are not Cayley graphs called non-Cayley vertex-transitive graphs. In 1983, Dragan Maru?i? [Ars Combinatoria 16B (1983), 297-302.] asked for which positive integers n does there exist a non-Cayley vertex-transitive graph on n vertices?.A path (cycle) containing every vertex in a graph is called a Hamilton path (Hamilton cycle). In 1969, Lovász [Proc. Calgary Internat. Conf., Calgary, Alberta, 1969] asked whether every finite connected vertex-transitive graph has a Hamilton path? Motivated by these two questions much more researchers join the research on vertex-transitive graphs in the following decades, this resulted in a great deal of the work on these two problems, but both problems remain open. The aim of the proposed project is to obtain future results on these topics, in particular, to answer these questions for special infinite families of vertex-transitive graphs regarding special orders, special valencies and other restrictions of vertex-transitive graphs.

Cayley图是点传递图，但存在一些点传递图不是Cayley图，叫做non-Cayley点传递图。1983年，Dragan Maru?i? [Ars Combinatoria 16B (1983), 297-302]提出问题：对于哪些正整数n存在一个n阶的non-Cayley点传递图？经过且仅一次经过一个连通图的每一个顶点的路(圈)叫做Hamilton路（圈）。1969年，Lovász [Proc. Calgary Internat. Conf., Calgary, Alberta, 1969] 提出这样一个问题：是否每一个有限的连通点传递图都含有Hamilton路？这两个问题提出近几十年来，更多的研究工作者投入到点传递图的研究工作中来，取得了相当丰富的结果，但仍未完全解决。本课题将会就特殊阶，特殊度数，以及其他一些限制条件的点传递图对这两个问题做进一步研究。

本项目对群与图中的点传递图的一些问题进行了研究，已经完成的结果包括：（1）完成了对6p^3阶三度对称图的完全分类，其中p是任意素数。这为进一步研究6p^3阶三度点传递图的Cayley图和非Cayley图的分类工作及6p^3的Cayley数性质做了很好的铺垫；（2）完全分类了8p阶四度1-正则图，其中p是任意素数。这为研究8p这个数的Cayley性质以及8p阶四度点传递图的Cayley图和非Cayley图的分类做了很好的基础工作；（3）在有限非交换单群上三度Cayley图的分类工作已完成的基础上，我们研究了有限非交换单群上的三度Cayley图的Hamilton性，得到了一些结果和进展。在研究点传递图的过程中也涉及到了一些群论问题，因此在本项目中我也对一些群论问题进行了研究，已经完成的结果包括：（1）刻画了某些特殊子群是TI-子群的有限群结构；（2）分类和刻画了某些特殊子群具有给定数量性质的有限群结构；（3）定义了特殊局部2-幂零群，并完全分类了16q阶的特殊局部2-幂零群，其中q是奇素数；（4）通过研究非循环2-子群要么是次正规子群要么在它的正规化子中具有给定指数的有限群，得到了有限群为可解群和有限群为p-幂零群的若干新的判定条件。