自守表示与阿贝尔簇的若干问题

We plan to construct concrete F-virtual Abelian varieties of GL(2)-type. They are Abelian varieties with big endomorphism algebra which induce Galois representations of GL(2)-type and their isogeny class is defined over the given number field F. We will construct and study properties of their parameter spaces, construct rational points on the parameter spaces and apply Gross-Zagier-Zhang formula. We hope that our work will furnish examples against which the BSD conjecture may be tested. We also plan to study (τ,b)-theory which concerns the relation among L-functions, period integrals and Endoscopy correspondence. Endoscopy correspondence can be viewed as a generalisation of theta correspondence. The non-vanishing or vanishing of period integrals can give information on the locations of poles of related L-functions and thus detect the existence of factors of the form (τ,b) in Arthur parameters of cuspidal automorphic representations. We plan also to consider the arithmetic Rallis inner product formula. We will study the relation between central derivative of L-functions and the Beilinson-Bloch height pairing of arithmetic theta lifts.

申请人计划构造出一类被称为F虚拟GL(2)型阿贝尔簇的具体实例。它们具有较大的自同态代数，可以导出GL(2)型的Galois表示，它们的isogeny类定义在给定数域F上。申请人将构造并研究它们的参数空间的性质，构造参数空间上的有理点，运用Gross-Zagier-张公式进行计算，在这些实例上检测BSD猜想可行性。申请人还将研究(τ,b)理论，即研究L函数、周期积分和Endoscopy对应之间的关系。Endoscopy对应可以看成Theta对应的一种推广。周期积分的消失与否能给出相关L函数的极点的位置的信息，从而得到尖自守表示的Arthur参数中(τ,b)形式因子的存在性。申请人还将考虑Rallis内积公式的算术版本，研究L函数在中心处导数和算术Theta提升的Beilinson-Bloch高度配对的联系。

本项目的一个目标是研究虚拟GL(2)型阿贝尔簇。它们在Galois表示的研究中起十分重要的作用，它们或可提供Birch-Swinnerton-Dyer猜想的实例支持。本研究构造了这类阿贝尔簇的模空间，并在阿贝尔曲面的情况下，给出这些模空间何时为通常型的条件。本研究还构造了2个模空间例子，证明它们是有理的，所以应能提供大量有理点。构造模空间需要分析这些阿贝尔簇的Tate模，而对模空间的分类需计算陈数、Hirzebruch-Zagier圈的相交数和扭点的坐标。..本项目的另一个目标是研究经典群上的自守表示的Arthur参数。由于Arthur参数对应的Arthur包是Langlands参数对应的L包的稳定化版本，所以本研究是Langlands纲领的重要方面之一。本研究中所构造的周期积分对志村簇上的特殊圈相交配对的计算有潜在应用。本研究的主要结论是通过和theta级数和Eisenstein级数相关的2族周期积分的消失性和非消失性，对辛群上的尖自守表示的Arthur参数中形为(τ,b)的因子的刻画。本研究分析了从辛群到正交群的Theta提升的塔和Eisenstein级数的留数的周期积分。