部分双曲系统的拓扑与遍历论性质

In recent years, partially hyperbolic dynamical system is the central issue in differential dynamical systems and ergodic theory. Nowadays, by using the tools and techniques which were obtained in the research of stability theory, the research of dynamical properties of partially hyperbolic systems mainly focuses on whether or not the concepts and results in hyperbolic theory still hold for partially hyperbolic systems, and the new dynamical properties different from hyperbolic theory. The concrete content of this program contains: (1) the ergodicity of volume-preserving singular partially hyperbolic systems; (2) tail entropy on unstable manifolds; (3) quasi-shadowing and applications for infinite dimensional partially hyperbolic systems; (4) quasi-shadowing and applications for singular partially hyperbolic systems and partially hyperbolic flows. Through the investigation of the above problems, we hope to develop the theory of partially hyperbolic systems and help people to understand more dynamic properties for syetems beyond uniform hyperbolicity.

部分双曲系统是当前微分动力系统和微分遍历论研究的主要对象之一。借助于稳定性理论研究中发展起来的针对双曲系统的工具和方法，部分双曲系统的动力学行为研究目前主要是讨论双曲理论中的重要概念和结论是否对部分双曲仍然成立，以及部分双曲系统有哪些异于双曲系统的新性质。本项目将致力于部分双曲系统的新拓扑与遍历论性质研究。具体内容包括：（1）保体积奇异部分双曲系统的遍历性；（2）不稳定流形上的tail熵；（3）无穷维部分双曲系统的拟跟踪性及其应用；（4）奇异部分双曲系统以及部分双曲流的拟跟踪性及其应用。本项目拟通过以上诸问题的研究，丰富和发展部分双曲理论，帮助人们进一步理解一致双曲系统之外系统的动力学行为。

动力系统研究的中心问题是理解大多数系统的动力学性质。经过几十年的研究发展，一致双曲动力系统的动力学行为已经得到较好的理解。部分双曲系统是近些年来微分动力系统和遍历论领域中最重要的研究对象之一。一个自然而基本的问题是，部分双曲系统是否也具有一致双曲系统的一些基本性质。本项目围绕这一问题开展了系列深入的研究。其主要研究内容有以下几方面：部分双曲流的拟跟踪性及其应用；Z^d作用的带双曲系统的拟跟踪性和非一致跟踪性；部分双曲系统的次可加势不稳定测度压和拓扑压；开集上逐点双曲系统的动力学性质；丛动力系统的性质研究。本项目主要研究结果如下：（1）对部分双曲流，特别是带奇点的部分双曲流，在考虑时间参数变换意义下定义并证明了系统的拟伪轨跟踪性质，并由此给出了在拟稳定性方面的应用。（2）证明了非一致双曲Z^d作用具有（非一致）伪轨跟踪性质，部分双曲Z^d作用具有拟伪轨跟踪性质，具有零李亚普洛夫指数的Z^d作用具有非一致拟伪轨跟踪性质。（3）在部分双曲系统的不稳定流形上定义了次可加势的几种等价的不稳定测度压，并证明了这些测度压实际上等于不稳定方向上的测度熵加上势函数在这个遍历测度下的李亚普洛夫指数；进一步，定义了相应的次可加势函数的拓扑压并得到了变分原理。（4）对底空间是由一个可数离散顺从群作用驱动的丛动力系统，证明了覆盖测度的存在性、线性无关数和格数的遍历定理、格数和无关数的变分原理，同时得到了底空间和丛空间的熵之间的关系。（5）从另一个角度推广一致双曲的概念，定义了开集上的逐点双曲和逐点部分双曲，证明了这类系统的稳定流形定理，在一定条件下证明了SRB测度的存在性。本项目的研究结果对理解部分双曲系统（包括Z^d作用和逐点意义下）的拓扑和测度论性质，以及丛动力系统的复杂性具有重要意义。