带双曲性动力系统的若干性质研究

In recent years, the systems beyond uniform hyperbolicity is the central issue in differential dynamical systems and ergodic theory. Now, people mainly focus on the topological and ergodic properties of dynamical systems with hyperbolicity since there are many tools and techniques which were obtained in the research of stability theory. We will study some new dynamical properties of partially hyperbolic and non-uniform hyperbolic systems. The concrete content contains: (1) the quasi-shadowing and its applications for partially hyperbolic systems, that is, looking for the conditions which make quasi-shadowing lemma hold and getting some new topological and measure properties for partially hyperbolic systems by using quasi-shadowing lemma; (2) estimating the entropy of partially hyperbolic systems and the continuity of them; (3) the dimension of hyperbolic measure and (4) the research of flow with hyperbolicity. Through the investigation of the above problems, we hope to develop the theory of partially hyperbolic and non-uniform hyperbolic systems and help people to understand more dynamic properties for syetems beyond uniform hyperbolicity.

一致双曲之外的动力系统是近十年来微分动力系统与遍历论领域的主要研究对象。借助于在稳定性理论研究中发展起来的针对双曲系统的工具和方法，目前的研究热点集中在带有一定双曲性的动力系统的拓扑和遍历论性质。本项目将致力于研究部分双曲系统与非一致双曲系统的一些新的动力学性质。具体内容包括：（1）、部分双曲系统的拟跟踪性及其应用，即寻找拟跟踪引理成立的更广泛的条件及用拟跟踪引理研究部分双曲系统的新的拓扑和测度性质；（2）、部分双曲系统熵的估计以及随系统变化的连续性；（3）、双曲测度的维数逼近；（4）、带双曲性的流的研究。本项目拟通过以上诸问题的研究，丰富和发展动力系统中的部分双曲和非一致双曲系统理论，帮助人们进一步理解一致双曲之外系统的动力学行为。

部分双曲系统和群作用动力系统是当今动力系统领域研究的热点。熵（包括拓扑熵和测度熵）和跟踪性分别是部分双曲动力系统非常重要的不变量和拓扑性质；熵作为描述系统的复杂性的量，也是群作用动力系统中最重要的研究对象之一。本项目主要研究内容集中在部分双曲系统的拟跟踪性、C1系统的熵、流的跟踪性与熵、群作用系统的tail熵及tail压。其主要研究结果包括：（1）首次独立得到了部分双曲系统的拟跟踪性、拟极限跟踪性；（2）证明了在C1保体积微分同胚中存在一个剩余集合，使得体积测度熵在这个集合上是连续的；（3）对顺从群作用动力系统，研究了tail拓扑熵和测度熵并得到了变分原理；（4）证明了拓扑动力系统对连续势函数和次可加势函数列tail压的变分原理；（5）具有双曲测度的微分流，在无不动点和法丛的Oseledec分解具有极限控制分解的条件下证明了此双曲测度具有跟踪性；（6）对C1微分同胚得到了一些正熵的充分条件，并对部分双曲系统得到了熵的与不稳定子丛和稳定子丛维数相关的一个下界；（7）对具有非一致Specification性质的非一致扩张映射，我们证明了饱和集上的变分原理，即拓扑熵等于测度熵的下确界；（8）构造了拓扑流说明零熵与无穷周期轨指数增长率可以共存，无穷熵可以与零周期轨指数增长率共存；（9）对中心不大于3维的保体积部分双曲系统证明了通有的系统在一个正体积集合上具有非零李雅普诺夫指数。本项目的研究结果对理解部分双曲系统的拓扑和测度论性质，以及顺从群作用动力系统的局部复杂性有重要意义。