多复变中的L2估计

L2 estimates are important in the fields of several complex variables and complex geometry. In this project, we will mainly study the L2 extension problem and the L2 division problem in several complex variables and complex geometry..On the L2 extension problem, we will study the L2 extension properties of dbar-closed L2 smooth vector bundle-valued (0, q)-forms on a hypersurface in a weakly pseudoconvex manifold. When q=0, the famous Ohsawa-Takegoshi L2 extension theorem and later developments have given satisfying answers. When q≧1, this problem has not been solved completely in the literature. However, we has gotten some progress on this problem. In this project, we will continue to study the case q≧1..What the L2 division problem mainly concerns is whether the vector bundle-valued holomorphic sections which satisfy a certain L2 integral condition have some L2 division property. The L2 integral condition and the final estimate are the key of this problem. In this project, we will focus our attention on the improvements of the L2 integral condition and the uniform constant in the final estimate, which have some relation with an open question involved in the problem.

在多复变与复几何领域中, L2估计占有重要地位。在本项目中，我们将主要研究多复变与复几何中的L2延拓问题和L2除法问题。.在L2延拓问题上，我们将研究弱拟凸流形内的超曲面上的dbar闭的L2的光滑的向量丛值(0,q)形式的L2延拓性质。当q=0时，著名的Ohsawa-Takegoshi L2延拓定理以及后续工作给出了这个问题的满意回答。当q≧1时，这个问题至今还未在文献中完全解决，但是我们已有部分进展。在本项目中，我们将继续研究q≧1时的情况。.L2除法问题主要关心的是，弱拟凸流形上满足一定的L2积分条件的向量丛值的全纯截面是否具有某种L2除法性质。在这个问题中，L2积分条件以及最后的估计式是关键所在。在本项目中，我们将重点改进其中的L2积分条件和最后估计式中的一致常数，这也和其中包含的公开问题有关。

L2估计理论是多复变与复几何领域中的一个重要的前沿分支。由于近些年来对L2估计理论的深入研究，加强了多复变与其他数学分支的联系，例如偏微分方程、调和分析、几何分析、代数几何等等。延拓问题本来是多复变中的经典问题，后来由于将L2估计理论引入到对延拓问题的研究之中，使得这个问题有了新的内容，被称为L2延拓问题。本项目主要是继续申请人博士期间的研究工作，进一步深入研究L2延拓问题。. 我们在本项目中重点研究了L2延拓问题中的优化估计问题，最优化了其中的最后估计式中的一致控制常数。具体来说，我们研究了弱拟凸Kahler流形上的具备奇异度量的L2的向量丛值的全纯截面作L2延拓时的最优估计问题，得到了这种情形下的最优常数。进一步地，我们研究的情形中最后的L2估计式里还可以含有可变化的分母，我们的研究结果给出了对应于这些分母的最优常数。这些分母是由特殊的定义在负半实轴上单调递减的正的光滑函数构成的，有着非常广的变化范围，从而我们的结果中的L2估计式存在许多变化，有很多不同的应用。当分母取为不同的函数时，我们的结果可以推出之前许多人的结果。. Bergman核是多复变领域研究的基本对象之一，对它的估计式的研究一直以来都是数学家们很感兴趣的问题。L2延拓问题实际上得到的是一个流形和它的子流形上的Bergman核的比较，我们的研究结果得到了这种比较的最优估计，所以我们的结果将会促进多复变领域中有关Bergman核问题的研究和发展。多复变领域中有关奇异的权函数的研究是一个比较困难的问题。我们的研究结果的一个重要性体现在允许出现奇异的权函数，这对带奇异的权函数的Bergman核问题的研究无疑有重要推动作用。