典型界壁湍流的螺旋波分解研究

Helical-wave decomposition (HWD) expands vector fields in arbitrary domains by orthogonal eigenfields of operator rot, and therefore fulfills a global orthogonal spectral decomposition for arbitrary flows inside a general domain, by which a complicated wall-bounded turbulence can be studied in an analogous way of conventional Fourier analysis. The previous HWD only applies to non-penetration boundary, however, we have made HWD applicable to non-slip boundaries and developed a general spectral method for incompressible wall-bounded flows. Based on the pseudospectral parallel code for a spherical domain, the high Reynolds number direct numerical simulations of turbulence within a shpere have been carried out. The project aims to apply the HWD to more wall-bounded turbulence, including the plane Couette flows, flows induced by a precessing sphere, von Karman swirling flows, etc. First, a set of HWD spectral dynamics equations for general wall-bounded turbulence will be derived and analysed theoretically, then we shall establish the databases of some canonical wall-bounded turbulence at high Reynolds numbers via the HWD-based direct numerical simulations. Then based on these datasets and the proposed HWD spectral dynamics systems we will investigate the influences of various boundary driving on energy cascades and energy spectra. Also the applicability of the Kolmogorov's hypothesis on the local isotropy for complicated wall-bounded turbulent flows will be theoretically elucidated.

螺旋波分解（HWD）是将任意区域内的矢量场按照旋度算子的特征场展开，因而可对带有固壁的一般区域内的流场作整体的多尺度正交谱分解，使得对复杂壁湍流的研究像对经典的均匀各向同性湍流使用傅立叶分解那样方便。但以往的HWD只能用于不穿透的边界，我们经过研究已将HWD用于无滑移边界情形，据此构建了用于不可压流的一般的HWD谱方法，并在球域的情况下实现了算法的伪谱化，完成了高雷诺数球内湍流的直接数值模拟。本项目拟将HWD用于更多的界壁湍流，包括平面Couette流、进动圆球内湍流、圆柱上下底面反向旋转的von Kármán流动等。在从理论上推出一般界壁湍流的HWD谱动力系统，然后开展HWD谱方法大规模直接数值模拟，获得高雷诺数典型界壁湍流的数据库并进行全局能谱分析。项目将通过螺旋波谱动力学揭示边界驱动方式对能量级串和能谱的影响，对典型界壁湍流中Kolmogorov局部各向同性假设的适用性给出理论阐释。

湍流是多尺度流动，传统的理论研究是在 Fourier 谱空间分析，但这只适用于周期边界的情况。螺旋波分解是 Fourier 分解在一般几何形状的有界区域的自然推广，因而适合于分析更复杂的湍流。本项目采用螺旋波分解这种全局谱方法对典型的界壁湍流的能谱进行了研究，探索传统 Kolmogorov 1941理论（K41）适用的范围，揭示其可能失效的情况。项目在理论上首次对边界驱动的界壁湍流建立了一般的谱动力学系统，边界驱动在谱空间等价于作用在所有尺度上的正比于黏性的体积力。将界壁流动按涡量和涡量扩散是否穿透边界分为四类，并通过直接数值模拟，对相应的四种典型界壁湍流的全局能谱进行了研究。算例包括：上下球壳对转的 Von Kármán 流动；沿经线方向驱动的球内流动（Hill 涡球边界条件）；加体积力驱动的自由滑移边界的有限长度圆柱内部流动（高径比为 2），以及东西半球对转驱动的圆球内流。结果表明，在K41统计定律通常很好成立的中等或大雷诺数时，在一般的边界驱动界壁湍流中，惯性区虽然存在，但能谱一般并不符合 -5/3 定律，二阶纵向速度结构函数在惯性区也并不符合 2/3 定律。我们根据螺旋波谱动力系统与边界条件直接相关的特点，给出了 K41 能谱函数不再成立或者必须对 Kolmogorov 常数进行修正的不依赖于雷诺数的理论论证，对于算例中得到的 -1，-2，-8/3 的能谱标度指数也根据流场的有界性进行了量纲解释。此外，我们还发现了内流湍流大雷诺数耗散率极限同能谱结构有密切的联系。这些新发现不仅对于湍流基础研究是重大突破，而且理论结果可用于构建新的湍流模型，提高流体机械和化工装置内湍流大涡模拟的准确性。项目在螺旋波特征值的数学性质方面也给出了基本的结果，发现其在一般情况下与拉普拉斯算子的特征值有本质的不同。还提出了求解有限长圆柱螺旋波基函数，以及用于螺旋波谱方法的辅助函数的若干新方法，包括数值算法和解析方法。