拓扑场理论与镜像对称

The research direction of the applicants is about symplectic geometry and mathematical physics, plus geometrical analysis. The main investigator has built the quantum singularity (FJRW) theory with his cooperators in the past work, which gave the rigorous foundation of the Landau-Ginzburg A model. On the other hand, the main investigator has also built the deformation theory of Schroedinger equations by himself, which corresponds to the Landau-Ginzburg B model. In this program, the applicants will continue to study the Schroedinger equation and its deformation theory. We plan to research the associated Frobenius manifold structure, the DGBV structure, the CY/LG correspondence between B models, the higher genus B model and the relation between GW theory and FJRW theory. Furthermore, we will extend our study to the open string case. The resolution of those problems will help people understand further the 2-d topological field theory and mirror symmetry. In addition, the applicants will also study the compactification problem of the Cartan-Hadamard manifold with non-positive curvature. This program will support the education and the grow-up of the young Chinese mathematicians and will improve the influence of our country in the international academic community.

申请人的主要研究方向是辛几何与数学物理，以及几何分析。主要负责人在以往的工作中与人合作构造了量子奇点理论（FJRW理论），并解决了广义的DE情形的Witten猜想。这给出了Landau-Ginzburg A模型严格的数学理论。另一方面，主要负责人还独自构造了薛定谔方程的形变理论的基础，这对应着Landau-Ginzburg B模型。在本项目中，申请人将继续研究薛定谔方程及其形变理论。他们计划研究相应的Frobenius流形结构，DGBV代数结构，B模型的CY/LG对应，高亏格的B理论以及与GW理论，FJRW理论之间的关系。进一步的研究还将扩展到开弦的研究。这些问题的解决将使人们更进一步的理解二维拓扑场理论和镜像对称。除此之外，申请人还将研究非正曲率CH流形边界的紧化问题。这个项目的开展也将有助于我国年轻学者的培养和提升我国在这个领域方面的国际影响力。

本项目主要研究以下几个方面的问题：1）奇点所对应的薛定谔算子所引发的分析和几何问题；2）规范线性sigma模型的数学理论的构建；3）Landau-Ginzburg模型的开弦理论构造。在1）中，我们得到了标准欧氏空间中拟齐次多项式奇点所对应的形式薛定谔算子的热核展开理论，从而定义了Torsion不变量；我们解决了扭转柯西-黎曼算子的Neumann边值问题，并在类似Witten形变下得到了初步的展开公式；我们研究了奇点理论中出现的各种配对之间的显式同构。在2）中，我们用代数几何的方法构造了线性sigma模型在“窄”的情况下模空间的虚拟基本圈，得到了此模型的状态空间的性质；利用分析的方法，我们对规范Witten方程进行了研究。在3）中，我们对Landau-Ginzburg模型的Fukaya范畴化理论进行了研究。所有这些结果都是关于Landau-Ginzburg模型的相关理论：1）是闭弦B理论；2）是关于LG和卡丘模型的统一闭弦理论；3）是关于LG A模型的开弦理论。这些理论在拓扑量子场理论和镜像对称的研究中具有重要意义，是当前辛几何，代数几何和数学物理研究的热点问题。