锥优化问题的光滑逼近精确罚理论与算法研究

Exact penalty function plays a very important role in constrained optimization theory and algorithms. However, exact penalty function often is not smooth, so smooth approximation for the study of such functions is particularly necessary. But for the exact penalty of the general cone optimization problem, there is no research results about its smooth approximation currently. Therefore, this project intends to: 1) firstly, for the general cone optimization problem, give a nonlinear double-parameter smooth approximation exact penalty function (denoted NDPF), then study the relative theory, including the stability of the perturbation function and the necessary and sufficient conditions for zero duality gap established, and so on; 2)base on the NDPF, design the appropriate penalty algorithm, focus on studying a variety of convergence properties of the algorithm, including the global convergence, finite termination and the local convergence analysis, etc; 3) apply the above results to three types of specific non-self-dual cone. For the characteristics of these three types of cones, further characterize their exact penalty theory in detail. The above research results will further enrich the theoretical system of the cone optimization.

精确罚函数在约束优化理论和算法方面起着重要的作用。而由于精确罚函数常常不具有光滑性，所以研究此类函数的光滑逼近尤为必要。鉴于目前尚未见到对锥优化问题这方面的研究成果，因此，本项目拟：1）首先对一般的锥优化问题，给出非线性双参数光滑逼近精确罚(简记NDPF), 研究与其相关的理论，包括扰动函数的稳定性态、零对偶间隙成立的充分必要条件等；2)基于NDPF，设计相应的罚算法, 着重研究算法的各种收敛性质，包括算法的全局收敛性、有限终止性与局部收敛性分析等；3）将上述结果应用到三类具体的非自对偶锥中。针对这三类锥的特征，进一步细致地刻划它们的精确罚理论。上述研究成果将进一步丰富锥优化理论体系。

项目组成员按照项目的研究内容与研究目标，主要做了以下三方面研究：.1. 对锥优化问题的研究主要集中在非对称锥。（i）着重研究特殊非对称锥的投影算子，包括结构表达式、微分性质等。将锥与均衡问题结合，研究锥上的均衡约束优化问题。（ii）提出互补锥的概念，这是一类特殊的非凸锥(从凸到非凸具有本质不同)，着重研究互补锥的变分几何性质，如法锥、切锥等，并建立锥均衡约束优化问题的最优性条件。（iii）研究锥优化增广Lagrangian对偶理论与算法，包括精确罚参数、强对偶性、鞍点存在性等理论，其中局部鞍点的存在性涉及到二阶切集的结构，全局鞍点需要对原问题进行扰动分析；在乘子序列无界时，研究增广Lagrangian乘子算法的收敛性。.2. 非线性增广Lagrangian 函数的对偶理论与光滑逼近精确罚算法研究方面。（i）对带等式与不等式约束的非线性规划问题，给出了一类非线性增广拉格朗日统一模型，它包含了目前文献中常见的许多增广拉格朗日函数。对此类拉格朗日统一模型我们给出了全局鞍点存在的充分与必要条件；（ii）对非线性规划问题，提出了一类光滑逼近精确罚函数，它包含障碍型和外罚型罚函数作为特殊情况，分别得到了精确罚性质与精确罚逆命题的充分必要条件；（iii）对带有箱形约束的半光滑方程组，提出了一种使用正规化光滑技术的平滑SQP算法；在适当的条件下，我们证明了算法的全局收敛性（iv）对一般约束优化问题给出了一类光滑罚算法，它是基于一类光滑逼近精确罚函数的光滑函数而提出的。在非常弱的条件下，证明了算法的全局收敛性，并在广义M-F约束规范假设下，证明了算法经过有限迭代后，所有迭代点都是原问题的可行解(当p=1);所有迭代点都是原问题可行解集的内点(当p在(0,1)内)。.3. 可行解序列的有限终止性是收敛性方面一个重要特征。最优化问题解集的弱强与强非退化性，是逼近点算法与某些重要的迭代点算法具有有限终止性的充分条件。由于上述算法产生的可行解点列的有限终止性，不仅依赖于解集的弱强或强非退化性，而且依赖于算法的具体结构特点，因此，研究不依赖具体算法的可行解点列的有限终止性，具有普遍意义。为此，我们建立了解集关于可行解序列的序列增广弱强的概念，相对于可行解序列，这个新概念是解集弱强与强非退化的扩展。在解集是序列增广弱强的条件下，给出了可行解点列的有限终止性的充要条件。这些结果推广了已有的结论。