可积系统在非零背景初值下的逆散射问题与几何性质的研究

Integrable systems have important applications in many physical fields. Solving Cauchy problems for integrable systems and studying the properties of the solutions are not only significant problems in integrable system theory, but also very important in revealing the essence of the physical models which these integrable systems describe. Moreover, from the geometric point of view, the integrable system can further characterize the characteristics of a certain or a certain class of integrable systems. This project will study the inverse scattering theory of the Cauchy problem for integrable systems with nonzero boundary initial values and the properties of the geometric model associated with integrable systems. The main contents include: (1) Using the inverse scattering transformation to solve the Cauchy problem of the Fokas-Lenells equation and the Hunter-Saxton equation with nonzero boundary initial values; (2) Study the Cauchy problem for the nonlocal nonlinear Schrodinger equation and Eckhaus-Kundu equation under generalized initial values, including numerical analysis and study of long-term asymptotic behavior of the solutions; (3) Establishing the relation between modified coupled dispersionless equation, motions of space curves, modified short pulse equation, and establishing the relation between nonlocal short pulse equations and soliton surfaces. These researches can deepen people's understanding of integrable systems, and bring new developments to the theory of integrable systems.

可积系统在许多物理领域中有着重要的应用。求解可积系统的Cauchy问题及关于解的性质研究不仅是可积系统理论中很有意义的问题，而且对揭示所描述的物理模型的本质是十分重要的。从几何角度研究可积系统能更深入地刻画可积系统的特征。本项目将研究可积系统在非零背景初值下Cauchy问题的逆散射理论以及与可积系统相联系的几何模型的性质刻画。主要内容包括：1、用逆散射方法精确求解Fokas-Lenells方程和Hunter-Saxton方程在非零背景初值下的Cauchy问题；2、研究非局部非线性Schrodinger方程和Eckhaus-Kundu方程的一般初值的Cauchy问题，包括数值分析与解的长时间渐近行为分析；3、建立修正耦合无色散方程与空间曲线运动、修正短脉冲方程的联系及建立非局部短脉冲方程与孤子曲面的联系。这些研究能加深人们对可积系统的理解，为可积系统理论带来新的发展。

可积系统在许多物理领域中有着重要的应用。揭示可积系统的性质、刻画可积系统的特征都是十分重要的问题。本项目研究了可积系统的Cauchy问题以及与可积系统相联系的几何模型的性质刻画，主要内容包括：1、研究非局部非线性Schrodinger方程在一般初值条件下的Cauchy问题。我们发现非局部非线性Schrodinger方程的Cauchy问题对初始条件非常敏感，并且不可积离散非局部非线性Schrodinger方程比不可积离散非线性Schrodinger方程具有更多的新性质；2、建立修正耦合无色散方程与空间曲线运动、修正短脉冲方程的联系。我们从方程以及几何的角度刻画了这两个系统的特征，揭示了这两个系统的内在联系，进一步加深对可积系统理论的理解；3、研究若干可积系统的精确解及其动力学性质，包括Ito型非线性波方程、广义正则长波方程和耦合非局部非线性Schrodinger方程。该研究成果对方程在行波变换下的动力系统的分支理论、临界条件、拓扑性质等问题有重要的意义。本项目的研究内容都是可积系统理论中十分重要和前沿的研究内容，相信这些成果会给可积系统理论增添新的内容和理论发展。