具有可测初值的空间齐性玻尔兹曼方程的柯西问题的定性理论

The Boltzmann equation is a basic equation of the mathematical physics, which has rich physical backgrouds. It is well known that the angular singularity in the cross section leads to the regularity of the solution for the Cauchy problem under the non-cutoff assumption with the initial datum of finite energy. Cannone and karch in <Infinite energy solutions to the homogeneous Boltzmann equation, CPAM,2014> prove the result that the homogeneous Boltzmann equation enjoys the global in time smoothing effect solution with the measure initial data, which have infinite energy. This idea was first intended by . This result was extended by Morimoto and Yang in <Smoothing effect of the homogeneous Boltzmann equation with measure initial datum, Poincare,2015>. Regarding the linearized Boltzmann equation, there exsits two results, Lerner, Morimoto, Pravda-Starov and Xu(Prof. Xu Chao-Jiang),<Gelfand-Shilov smoothing properties of the radially symmetric spatially homogeneous Boltzmann equation without angular cutoff,JDE,2014> and Glangetas, Li and Xu, <Sharp regularity properties for the non-cutoff spatially homogeneous Boltzmann equation, KRM, 2016>. However, the above result was completed with the measure initial data in L^2 spaces, the initial data in measure space is an open problem. Based on the above result, we prove that the global in time of the qualitative properties for the solutions to the Cauchy problem for the homogenous Boltzmann equation still holds for measure valued initial datum.

玻尔兹曼方程是数学物理学中的一个基本方程，具有深刻的物理背景。 众所周知， 在初值具有有限能量的物理假设条件，玻尔兹曼方程碰撞函数的角奇异性可以导致柯西问题解的正则性。对初值具有无穷能量的情形，Cannone-karch在《玻尔兹曼方程的无穷能量解，CPAM，2014》中得到相关的结果，这一结论后来被Morimoto-Yang在《具有可测初值的玻尔兹曼方程的光滑性效应，Poincare，2015》中得以推广。对于线性化的玻尔兹曼方程，目前有Lerner, Morimoto, Pravda-Starov和Xu(徐超江教授)的作品[LMPX3]以及Glangetas，本人和Xu的工作[GLX]，只是上述结果的初值属于L^2赋范空间。对于初值属于可测函数空间的情况目前还是有待解决的热门研究课题。 在上述结果的基础上，利用谱分解技巧，我们研究具有可测初值的空间齐性玻尔兹曼方程柯西问题解的定性性质。

玻尔兹曼方程是数学物理学的一个基本方程，具有深刻的物理背景。在非截断假设条件下，我们的研究一方面着重于研究初值（可测）可以有多奇异的时候其柯西问题的解的存在性，一方面着重于研究柯西问题解的正则光滑性效应等定性理论。首先，我们研究的是初值可测时带Debye-Yukawa位势的玻尔兹曼方程的柯西问题解的正则光滑性研究，我们得到此位势下波尔兹曼方程解的最优光滑性效应是属于Shubin正则光滑的。其次，朗道方程在物理上属于玻尔兹曼方程的一个极限状态，我们研究初值可测的空间齐性朗道方程的柯西问题解的光滑性效应等定性问题。从研究过程看，我们是先简单后复杂，从径向对称到一般的三维空间，我们得到朗道方程的柯西问题解的最优光滑性效应可以做到Gelfand-Shilov光滑性，本质上讲，其解在原空间和相空间上具有超解析光滑性。第三，我们研究初值属于Besov函数空间的空间非齐性的kac方程（玻尔兹曼方程的一维模型）的柯西问题解的对速度v和对位置x的最优光滑性效应以及初值属于Sobolev函数空间的空间非齐性Fokker-Planck方程的柯西问题解的最优光滑性估计，得到相比之前的结果更优的光滑性。以上的研究，一方面结果满足物理上对玻尔兹曼方程解的最优光滑性预期，同时也在数学研究方法上有许多创新。其中我们首次给出了空间齐性朗道算子的代数谱结构，从而得到朗道方程解的Gelfand-Shilov光滑性效应；优化了LMPX在JFA上的关于Kac方程的光滑性结果，使得对速度v的光滑性结果更优。这些作品发表在SIAM of Journal on Mathematical Analysis和Journal of Differential Equations 等权威SCI期刊上。.