一类高阶KdV方程的柯西问题和Rosenau方程的全局吸引子问题研究

Both the KdV equations and the BBM equation are dispersion equations. They can reflect the solitary wave phenomenon under different physical backgrounds. Since the introduction of the harmonic analysis tool into the field of partial differential equations, the Cauchy problem of the KdV equation and the attractor problem of the BBM equation have obtained some good results. However, it is still unclear that whether the fifth order KdV equation has a lower order regular weak solution. Besides, the regularity problems of the global attractor on the Rosenau equation (high-order BBM equation) are still unresolved. By applying the harmonic analysis method and the technique of constructing the Bourgain type space, promoting the well-posedness concept of the fifth-order KdV equation and proving the Gevrey regularity of the global attractor for the Rosenau equation under appropriate conditions, this project is helpful to establish the well posedness theory structure of the higher order dispersive equations, analize the large time behaviours of the solutions to higher order dispersive equations, and deeply understand the soliton and attractor in different physical backgrounds.

KdV方程和BBM方程都是色散方程，都能在不同物理背景下反映孤立波现象。从调和分析工具引入到偏微分方程领域以来，三阶KdV方程的柯西问题和BBM方程的吸引子问题已经取得一些比较好的成果。但目前五阶KdV方程的柯西问题是否具有低正则弱解尚不清楚，Rosenau方程(高阶BBM方程)是否具有解析的全局吸引子也亟待解决。本项目拟借助调和分析方法和构造Bourgain型空间技巧，通过推广五阶KdV方程解的适定性概念和证明Rosenau方程全局吸引子的Gevrey正则性，有助于进一步建立高阶色散方程的适定性理论框架，分析高阶色散方程解的大时间行为，以及加深在不同物理背景下对孤立波和吸引子的认识。

本课题主要对一类高阶浅水波模型和经典KdV方程的适定性问题、大时间行为、控制问题等进行研究，主要内容包括以下三个方面：.一是研究不带非线性色散项的五阶KdV方程在周期域上的柯西问题。当不带非线性色散项时，该模型并不是一个可积模型，从而常规方法失效。我们借助Bourgain空间的技巧证明了该模型在一个低正则空间中的局部适定性。.二是研究带非线性色散项的五阶KdV方程在有界区间上的初边值问题和在周期域上的控制问题。由于Kato光滑效应并不能补偿非线性色散项，从而Picard迭代方法对于研究非齐次初边值问题失效。我们用插值空间技巧构造了一个非常规外力源空间，此空间可以用来补偿非线性色散项，从而用不能点定理我们得到了该高阶KdV方程的局部适定性。并且我们找到了无穷多个外力项，可以使得该模型在周期域上局部精确能控。.三是研究经典线性KdV方程和非线性KdV方程解的长时间行为。对于带局部阻尼项线性KdV方程, 我们用谱分析方法证明了其解具有指数衰减性质，并得到其解指数衰减的等价判别准则。对于带局部阻尼项和大初值非线性KdV方程，我们借助其线性模型在Bourgain空间中的正则性传播和唯一延拓性质，建立了解指数衰减的一个充分条件。