融合系与群表示

We investigate fusion systems and group representations with their applications. The theory of Fusion systems is newly developed with deep applications in group theory, representation theory and algebraic topology, and possibly provides a simplified proof of the classification of finite simple groups. The representation theory of finite groups is very active in recent years, with Brauer Height zero conjecture solved so many breakthroughs occur in the study of most important open problems in this area. The inductive conditions on McKay conjecture will hopefully open the door to the solution of these related conjectures. Linear groups play a big role in the deviation theory of groups and in automorphy lifting of higher dimensional Galois representations and thus can be applied in the study of Langlands program and quantum cohomology and as well as string theory.

本项目主要研究融合系和有限群表示及其应用. 融合系是近年新发展起来的重要理论， 在有限群论、表示论和代数拓扑学等领域有深刻应用, 可望给出有限单群分类新的简化证明。 而有限群表示论近来十分活跃， 随着Brauer 高零猜想的解决，一些重大难题得到解决或出现重要突破， 特别是McKay 猜想归纳条件的给出，将推动 Algerin 权猜想和 McKay 猜想等问题的解决。 而线性群在高维Galois表示自守提升研究中的重要作用和群的偏差理论的发展， 使得线性群得以应用到Langlands 纲领和量子上同调、弦论等理论中，促进有关理论的发展。

本项目主要研究融合系和有限群表示. 我们确定了一些重要有限p-群上的融合系， 找到新的奇异融合系。 我们还部分解决了Bouc 关于B-群的猜想。 我们利用归纳条件证明了 Algerin 权猜想对几类有限李型群是正确的， 这是国际上对有限群模表示的这一著名问题研究的重要进展。 在有限线性群线性群研究中， 我们验证了一些特殊维数表示的富足性，进而证明了一些高维Galois表示的自守提升。 我们证明有限群G 是可解的若对任意奇素数 p， |Irr(B_0(G)_2) ∩ Irr(B_0(G)_p)| ≤ 2. 由此， 刘燕俊和 Brough 等人进一步证明 有限群G 是可解的充分必要条件是群 G/O 的块图在 2处不含三角。 一个深刻的猜想是： Irr(B0(G)2) ∩ Irr(B0(G)p)=1 隐含有限群 G 有幂零 Hall {p, q}-子群。我们把此问题约化为有限单群的情形， 因此对p-可解群或者q-可解群G， 上述猜想是正确的。我们还把Green对应推广到任意模或复形范畴， 进而给出了一个基本公式来决定何时模或复形范畴具有Green对应。我们还对 p > 2以及典型群解决了Robinson 猜想, 对一般线性群和酉群解决了Eaton-Moretó 猜想。.