关于双曲方程解性态的研究

The research on nonlinear hyperbolic equations is not only a core problem in partial differential equations, but also admits some strong physical backgrounds, such as in fluid dynamics, general relativity, and so on. It is always an important topic to study the blowup or the development of singularities after the blowup time of classical solutions to nonlinear hyperbolic equations. This project focuses on the flowing problems: (1) Study the long time behavior of 3D general quasilinear wave equations satisfying weak null conditions with small data; (2) Study the Cauchy problem of 2D quasilinear wave equations with small data whose coefficients depending on the solution itself; (3) Study the lifespan of 3D quasilinear wave equations with large data.

在偏微分方程中一个核心的问题就是对非线性双曲方程解性态的研究，这些研究与流体动力学、广义相对论等领域密切相关。关于双曲方程经典解爆破和爆破后解的发展性质的研究始终是双曲方程理论中的重大课题。本项目将围绕如下问题进行：（1）研究满足弱零条件的、具有一般形式的3维拟线性波动方程组小初值解的长时间问题；（2）研究2维拟线性波动方程系数只跟解本身有关的小初值Cauchy问题；（3）探索大初值3维拟线性波动方程解的存在时间。

本项目旨在研究拟线性波动方程大初值问题解的存在时间。我们选取了两类特殊的具有特定物理意义的模型进行了研究，即研究了薄膜振动问题和可压缩Euler方程中的Chaplygin气体解的发展问题。本项目最终得出了如下两类结果：.1. 证明了一类大初值条件下的3维薄膜振动方程有限时间内激波的形成。这个问题由于初始值具有范数大的性质，而且求导次数越多，解的范数越大，这类问题传统意义上的方法完全没法解决，具有很大的难度。我们选取了一类“脉冲初值”，借助于微分几何的知识，通过分析特征面的挤压情况，预估了解在有限时间内是爆破的，而且在爆破处形成激波。然后通过建立解的Bootrtrap假设，证明了特征面在有限时间内发生挤压的事实。由于特征面的挤压，我们构造了退化的能量，得到了最终的能量估计，最后使用连续性方法封闭了最初的假设，从而得到了方程的爆破性质。.2. 证明了一类大初值条件下3维Chaplygin气体整体解的存在性。我们依然选取了“脉冲初值”来研究我们的问题。到目前为止，鲜少有具有脉冲初值的大初值问题的整体存在性结果，我们目前看到的已经发表的那些为数不多的结果的论文也是对初值加了一些别的限制。我们鉴于研究薄膜振动方程的经验，考察了方程的特征面的情况，发现特征面在解存在时间内不会产生挤压。然后我们分别在前向光锥的附近和内部做能量估计，最终得出解全局存在的结论。. 本项目中我们借用了微分几何的知识，引入了一个真正反映特征面挤压的几何量，巧妙地解释了解爆破的缘由或者全局存在的本质。我们进一步发展了传统的偏微分方程的能量方法，为将来真正解决任意大初值问题的解的存在时间贡献了自己的力量。