C*-代数的Haagerup性质

This project is a cross subject of group theory and operator algebras. Haagerup property is proved to be very useful and important in the study of group theory and operator algebras. Therefore, it is studied by many well-known domestic and foreign scholars. The project group plans to refer to the techniques and methods in studying the Haagerup property of von Neumann algebras to study the Haagerup property, the (**)-Haagerup property and the weak Haagerup property of C*-algebas (epecially group C*-algebras) which are closely related to the (weak) Haagerup property of groups. The research contents mainly include: (1) the equivalence relation among the Haagerup property of discrete groups, the Haagerup property and the (**)-Haagerup property of group C*-algebras; (2) the relation between the Haagerup property of C*-algebras and (**)-Haagerup property of C*-algebras; (3) apply the definition of the weak Haagerup property of von Neumann algebras to give the reasonable definition of the weak Haagerup property of C*-algebas, and then study some hereditary results and properties about the weak Haagerup property of C*-algebas.

本项目是群论与算子代数理论的交叉课题。Haagerup性质是群论及算子代数理论中十分重要的研究课题，国内外众多知名学者从事这方面的研究，具有深刻的理论意义。项目组计划借鉴研究von Neumann代数上(弱)Haagerup性质的技巧和方法来研究与群的（弱）Haagerup性质密切相关的C*-代数（特别是群C*-代数）的Haagerup性质，(**)-Haagerup性质和弱Haagerup性质。主要研究内容如下：（1）离散群具有Haagerup性质分别与其对应的群C*-代数具有Haagerup性质和(**)-Haagerup性质的等价关系；（2）C*-代数的Haagerup性质和（**）-Haagerup性质的关系；（3）利用von Neumann代数弱Haagerup性质的定义给出C*-代数弱Haagerup性质的合理定义并研究其遗传结果和性质。

Haagerup性质是群论及算子代数理论中十分重要的研究课题，国内外众多知名学者从事这方面的研究，具有深刻的理论意义。由于C*-代数的Haagerup性质严格依赖于所选取的忠实迹态，因此人们希望给出C*-代数一种新Haagerup性质的定义，使得定义不再依赖于所选取的忠实迹态。申请人首次给出了C*-代数的一种不依赖于忠实迹态选择的新的Haagerup性质，称之为(**)-Haagerup性质。我们首先给出并证明了C*-代数的(**)-Haagerup 性质的一些遗传结果: C*-代数的(**)-Haagerup 性质遗传给它的 C*-子代数、约化张量积C*-代数及直和；其次证明了任意单位核C*-代数具有C*-代数的(**)-Haagerup性质。最后我们解决了Suzukai在2013年提出的一个公开问题：C*-代数的Haagerup 性质是否遗传给它的C*-子代数。. 我们还研究了算子代数上的2-局部Lie同构和保持Jordan triple *-积的非线性映射。首先我们证明了套代数上任意可加的满的2-局部Lie同构都可写成一个同构或者负的反同构和一个将交换子的和映为零的中心值线性映射的和；其次证明了算子代数B(H)上任意满的2-局部 *-Lie 同构都可写成一个的*-同构或者负的*-反同构和一个将交换子的和映为零的中心值齐次映射的和。最后证明了没有中心交换投影的von Neumann代数上保持Jordan triple 1-*-积或保持Jordan triple （-1）-*-积的非线性满映射是一个线性*-同构和共轭线性*-同构之和 。