几类重要p群的分类及相关问题研究

本项目旨在对几类重要的p群进行分类并对相关问题以及在信息安全方面的应用问题开展研究。具体地说，主要研究p群的正规结构与算术结构方面的问题；某些特殊p群的分类问题；p群的性质对有限群结构的影响问题；探索p群的研究方法问题；椭圆曲线群中p子群的分类、计算及其在密码学上的应用问题等。其意义在于：（1）这些问题的研究与结果对p群本身具有重要性，特别是对有限（单）群的研究也具有重要影响；（2）p群为组合、上同调理论以及计算机科学提供了理想的研究对象，同时在信息安全中也具有潜在的应用；（3）p群及其应用研究目前在我国还很薄弱，我们申请此项目旨在进一步加强该领域的研究，建立稳定的p群研究队伍，形成明显的研究特色，在这个领域中做出中国人的更大贡献。还要指出，在我们的研究中将广泛应用计算群论的著名软件包Magma，因此对它的开发和应用也是这个项目的一个重要特点。

随着有限单群分类问题的解决以及可解群理论的充分发展，有限p群(即阶为素数幂的群)的研究近年来重新变得活跃起来。其中某些特殊p群的分类以及p群的子群计数是p群研究的两项重要内容. 本项目主要围绕这两项研究内容开展工作。完成了几类重要p群的同构分类和刻画,例如，有一个极大子群是内交换的有限p群的分类；内类2群的分类等。确定了子群个数最多的非交换p群；对华罗庚和段学复猜想取得新的进展等。解决了著名群论学家Z.Janko和Y.Berkovich在他们合著的《有限p群》专著I、II、III中提出的几个问题。我们的成果被他们转辟一节在其即将出版的p群专著IV中给予介绍， 其标题为： 山西师范大学p群学家研究成果综述。.. 本项目发表研究论文27篇，其中15篇被SCI收录。完成硕士学位论文38篇。组织了国内首次计算群论讲习班。在国际学术会议上做特邀报告2人次，邀请报告和小组报告15人次。总之,项目的预期目标圆满完成。