p进霍奇理论及其在数论中的应用

The research area of the applicant is number theory, or more specifically, the.p-adic aspects of algebraic number theory and arithmetic geometry. The applicant's.current research focuses on p-adic Hodge theory, p-adic Langlands program and.p-adic modular forms. His main contributions include: 1. In a joint work with.Kedlaya, they build up the foundation of geometric relative p-adic Hodge theory..2. In arithmetic relative p-adic Hodge theory, the applicant proves the global.triangulation conjecture for p-adic Galois representations over the.eigenvarieties, and the analytic continuation of semi-stable periods of finite.slope families. 3. With collaborators, they confirm Emerton's conjecture about the.description of locally analytic vectors of unitary principal series of GL_2(Qp);.this is part of the p-adic local Langlands correspondence for GL_2(Qp). 4. In a.joint work with Hansheng Diao, they prove the properness of the eigencurve,.solving a longstanding conjecture of Coleman and Mazur. The applicant will.continue his research on the directions mentioned above.

申请人的研究领域是代数数论，特别是代数数论的p进部分以及相关的算术代数几何问题.。申请人目前的工作集中在p进霍奇理论,p进朗兰兹纲领以及p进模形式。申请人的主要研究.成果包括：1.与Kedlaya一起建立了几何相对p进霍奇理论的基础。2.在算术相对p进霍奇理.论中证明了特征簇上伽罗华表示的三角性猜想以及有限斜率族半稳定周期的解析延拓。3.与合.作者一起证明了有理数域上二阶线性群的p进朗兰兹纲领中Emerton关于酉主级数的局部解析向.量的猜想。4.与刁寒生合作证明了Coleman和Mazur关于特征曲线完备性的猜想。申请人将继.续推进在上述几个方向的研究。

本项目主要完成了以下两个工作：..1. 与肖梁及万大庆合作证明了关于特征曲线边界几何形态的Buzzard-Kilfford猜想（Duke 2017）。.2. 与朱歆文合作对p进刚性簇的黎曼希尔伯特问题取得进展，建立了黎曼希尔伯特函子并证明了p进局部系统的德拉姆刚性 (Inventiones 2017)。..项目按计划组织了各种学术活动， 包括国际学术会议与各种短期课程与系列讲座， 邀请了国内国际算术几何方面的专家作报告或讲课。通过学术交流达到了传播最新进展，交流学术成果的目标，增强了学者们与学生们之间的互动。本项目获得了依托单位北京大学的大力支持，运转顺利，厉行节约。综上， 本项目按计划进行，获得了预期的研究成果，达成了预定的目标。