与准局域质量有关的若干几何分析问题

本项目拟研究（数学)广义相对论中与质量相关的几个基本问题。在三维渐近平坦流形的条件下，Schoen-Yau和Witten首先证明了正质量定理。约二十年后，Bray和Huisken- Ilmanen证明了相应的Penrose不等式。这些结果的出现使人们对其他流形上（准局域）质量的定义、性质及其相应的正质量定理和Penrose不等式的研究产生了浓厚兴趣。目前已有几种不同的准局域质量（quasilocal mass）定义，对于质量的下界估计也有重要进展。本研究的目的是利用几何分析工具，特别是微分方程的经典估计与技巧，结合曲率流的性质对现有准局域质量的定义做进一步的研究，并估计渐近双曲空间总质量的下界。重点研究Liu-Yau质量和Wang-Yau质量在空间无穷远的性质；通过对等距嵌入的研究，试图给出三维渐近双曲空间中新的准局域质量定义，运用曲率流的性质得到Penrose-类型不等式。

该项目主要研究了与准局域质量相关的一些几何分析问题，比如等距嵌入问题，准局域质量的性质等。同时研究了对称空间和复几何、里奇流等。我们证明了渐进Schwarzschild流形上一些旋转凸曲面的Brown-York质量趋于ADM质量。利用李代数的魔方，将对称空间统一描绘成实数域（复数域、四元数域、八元数域）上格拉斯曼流形。获得里奇流上随时间变化的Sobolev不等式，推广了Rugang Ye的工作。获得关于凯勒-里奇流正则性的结果。证明了如果在凯勒-里奇流上，度量是一致等价的，则该凯勒-里奇流一定没有奇点。获得紧复乘积流形上复厄米特度量的分类定理，推广了Fangyang Zheng的结果。在较弱的负曲率条件下，证明复乘积流形上完备凯勒度量的不存在性，并在近复流形上的得到了相应结果。同时获得了凯勒流形的Hessian比较定理，并研究了双截面曲率具有正下界的凯勒流形的直径刚性问题。最近还研究了（近）复流形上的一些几何性质，比如可积性等，得到了一系列成果。