高维分数阶动力系统的数值算法研究

分数阶动力系统可用来描述工程学、地震波衰减和聚合体流变学等领域中的实际问题，对其进行数值计算的研究目前已有一定的进展，但对于高维分数阶动力系统数值模拟的研究仍处于初级阶段。.本项目主要探索高维分数阶动力系统的数值方法和计算效率问题。借鉴求解整数阶微分方程的有限体积方法、MLPG和基于MLS的无网格方法、混合有限元方法，并结合分数阶导数的特点，离散分数阶导数，建立高维分数阶动力系统的数值方法，给出误差分析和相容性、稳定性、收敛性等理论分析；借助并行LU分解和三角方程组的并行求解算法，并结合分数阶导数离散格式的特点，构造高维分数阶动力系统的并行算法，实现并行计算。力求在数值方法的构造和计算效率的研究方面有所突破和创新，进而可将这些方法应用于上述诸多领域中的实际问题。

本项目主要研究分数阶动力系统中的几种分数阶微分方程,建立数值方法，进行数值实验。首先构造了几种较为复杂的分数阶微分方程的有限差分格式，并进行推广至三维情形；其次，我们探讨了空间分数阶微分方程的有限体积方法、有限元方法和无网格方法，并成功推广至二维情形；此外我们尝试建立各学科之间的联系，并将分数阶模型应用于金融衍生品定价和地下水运动等领域的应用。对分数阶微分方程数值模拟的并行计算问题，还存在一定的困难，这需要我们继续深入研究。本项目的研究成果以学术论文形式展现。