高维流形中拓扑递归结构的研究

Topological recursion is an algebraic structure achieved by B.Eynard when he solved the loop equations of matrix integrals. It formally gives a sequence of symplectic invariants, which generates a tau function, on an algebraic curves. But it is still an open problem to find the similar structure on higher-dimensional manifold, especially on compact Calabi-Yau manifold. The program explores the topological recursion on compact Calabi-Yau manifold, with the help of BCOV equation on non-compact Calabi-Yau manifold. Then it would show an.higher-dimensional topologcial recursion. Those generalize the topological recursion applications to higher dimensional cases and give a new way to compute the partition function of topological strings on compact Calabi-Yau manifolds.

拓扑递归是 B.Eynard 解矩阵积分圈方程时，得到的一种解的结构。在复一维的代数曲线上，拓扑递归方程形式地定义了一列辛不变量，且它们的生成函数给出了一个 tau 函数。但在高维的流形上，特别是紧致 Calabi-Yau 流形，是否存在拓扑递归结构还是一个未知的问题。本项目，拟通过非紧致 Calabi-Yau 流形约化为代数曲线，给出拓扑递归式的方法，研究紧致 Calabi-Yau 流形中的拓扑递归结构，及一般高维流形上的拓扑递归式。这将为拓扑递归方法在高维问题中的应用提供理论依据，同时也将给出计算紧致 Calabi-Yau 流形上拓扑弦配分函数的一种方法。

拓扑递归是定义在“谱曲线”上的一种代数结构，广泛存在于不变量、拓扑弦、可积系统等数学与物理理论中。谱曲线是复一维代数曲线，推广到高维流形可极大扩展拓扑递归的应用范围。本项目，一方面研究把谱曲线推广为紧致Calabi-Yau流形，尝试定义出高维的拓扑递归结构。项目重点通过直接推广数学概念和几何量子化Calabi-Yau流形两种方案构造高维拓扑递归结构。这一过程中两种路径存在共同的问题、难点，尚未能成功。另一方面，我们发现了一种新的类Hopf代数的结构，它的积和余积定义中的项可推广为有限项。在研究矩阵积分关联函数的双线图表示时，给出了关联函数与cluster代数的一种对应方式。这些结果为我们后续的研究打下了基础，也丰富了拓扑递归理论的内容。