高维流形中的若干拓扑问题的研究

In high dimensional topology, the researches of the structure of the cobordism ring and the high dimensional knot theory play important role and attract more and more attentions. This program plans to focus on these two directions. For the cobordism ring, we want to study the properties of the equivariant cobordism ring when the transformation group is an n-tori. Our main method is to combine tom Dieck's localization theorem; integrality theory and the recent works of Sinha and Hanke on the equivariant cobordism rings. For the high dimensional knot theory, we want to find some rational knot invariants，study the rational knot cobordism group and some exact sequences of the rational knot group. Our main tools are classical techniques in (high dimensional) knot theory and the rational surgery theory of Barge and Sullivan.

在高维流形的拓扑研究中，配边环的结构所相关的问题以及高维扭结的嵌入的相关问题一直是这个方向比较重要的两个分支。本项目主要想对这两个分支做进一步的研究。在配边环方面，我们想研究变换群为环面的等变配边环的相关性质和问题，主要的方法是把tom Dieck的局部化定理和整性定理与近期Sinha和Hanke关于等变配边环的技术做相应的结合。在高维扭结这一块，我们想发展出有理扭结的相关不变量,有理扭结配边群和相应的正合序列，我们的主要方法为经典（高维）扭结的相关技巧结合Barge和Sullivan的有理手术理论。

本项目主要研究两类问题：第一类为等变配边相关问题。第二类为高维纽结相关问题。. 等变配边研究近年来在等变同伦，环面拓扑等影响下有了新的活力，也产生了一些新的问题和方法。我们研究了变换群为环面（T^n）时等变配边同上同调等变陈数，K理论等变陈数之间的等价性，并且证明了等变上同调陈数为零当且仅当等变配边为零。此外，利用环面拓扑中的Quasitoric流形，我们构造了Special Unitary 配边环中的非零元，回答了V. Buchstaber, T. Panov 和N. Ray关于special unitary流形的一个问题。. 高维纽结从Hafliger，Kervaire，Levine开始便是高维拓扑中的一个重要分支，它将经典纽结，高维手术理论，流形分类联系到了一起。其中，比较具有代表性的是Montgomery-Yang对应，它将某些高维纽结群一一对应到同伦CP3的微分同胚类。我们从传统的Montgomery-Yang对应出发，对6维d-twisted CP3得到相应6维一般化的Montgomery-Yang对应，并给出变换群为对合作用下的等变对应。在高维情况，给出了11维Montgomery-Yang对应的一种情况，并联系到了部分映射类群。