仿拓扑群的广义度量性质及其在紧化中的应用

From the intersection and integration of topology and algebra, there generates the theory of topological algebra, the frontier in the study of general topology, where the theory of paratopological groups is one of the most dynamic research objects. Focusing on A. V. Arhangel'skii and M. Tkachenko's open problems in their monograph Topological Groups and Related Structures in 2008, it is one of the current important issues in general topology to discuss the topological and algebraic properties of paratopological groups and the applications. On the basis of what have been studied and achieved, the project group will research collaboratively on the A. V. Arhangel'skii's problems, M. Tkachenko's problems and E. A. Reznichenko's problems, and apply the generalized metric methods in general topology and the skills of the operators in algebra to studying the metrizabilities and the theory of compactifications in paratopological groups, with the hope of publishing 15 papers in influential journals, thus promoting the research abilities and innovation to a higher level.

源于拓扑和代数的交叉与融合而产生的拓扑代数已成为一般拓扑学的前沿研究方向，其中仿拓扑群理论是最有活力的研究对象之一。围绕2008年A. V. Arhangel'skii 和M. Tkachenko的专著 《Topological Groups and Related Structures》中的公开问题，探讨仿拓扑群的拓扑、代数性质及其应用是一般拓扑学当前的重要课题之一。我们将在已取得良好工作的基础上，对A. V. Arhangel'skii问题、M. Tkachenko问题、E. A. Reznichenko问题等进行协作攻关，把一般拓扑学中的广义度量方法和代数学中的运算技巧用于仿拓扑群度量化问题和紧化理论的研究，在有影响的杂志上发表论文15篇左右，使我们的科研创新能力进入一个更高的层次。

源于拓扑和代数的交叉与融合而产生的拓扑代数已成为一般拓扑学的前沿研究方向之一，其中仿拓扑群理论是最有活力的研究对象之一。.在项目3年里，我们主要围绕2008年A. V. Arhangel’skii 和M. Tkachenko的专著 《Topological Groups and Related Structures》中的公开问题，探讨仿拓扑群的广义度量性质和在紧化理论中的应用的一些相关内容进行研究, 特别是对仿拓扑群中一些关于广义度量的关键性问题进行解答, 主要涉及以下的3个方面:.(1) 寻求和建立仿拓扑群理论的一些基数不变量问题;.(2) 研究仿拓扑群的广义度量性质能蕴含何种更强的度量化因子;.(3) 利用所研究的仿拓扑群的广义度量性质来探讨仿拓扑群的紧化理论..主要和关键结果如下: .(1) 研究了自由仿拓扑群的基数不变量问题，给出了自由交换仿拓扑群单位元的邻域基; .(2) 讨论了仿拓扑群的Frechet-Urysohn性及次可度量性;.(3) 证明了具有Rotoid 结构的仿拓扑群的紧化剩余要么是Lindelof空间, 要么是伪紧空间;.(4) 研究了仿拓扑群的一些广义度量性质问题，给出了局部局小与伪界的仿拓扑群的一些基数特征的刻画，并讨论了其相关的广义度量性质及其紧化的二岐性定理; .(5) 讨论了仿拓扑群的基数的双序列性及次可度量性，证明了局部局小的双序列的仿拓扑群是第一可数的和解决了Tkachenko一个关于仿拓扑群的次可度量性问题; .(6) 给出仿拓扑群的紧化的二岐性定理，证明了仿拓扑群的紧化剩余要么是 Lindelof且meager , 要么是Baire的;.(7) 解决了自由交换仿拓扑群的嵌入问题, 这是研究自由仿拓扑群的一个重要结果..由此看来, 本项目把广义度量空间的方法与拓扑代数理论相结合的问题的思路是正确的, 所取得的结果和方法对拓扑代数的研究具有重要的意义, 所采用的方法也是新颖的.