两类偏微分方程组解的渐近行为

物质的微观形态常常有助于我们了解事物的内在机制. 因此对渐近行为的研究具有重要的实际和理论意义. 本项目中, 我们将研究与非交换的Chern-Simons涡旋理论以及微分几何等方向都有着密切联系的 Toda方程组. 在这方面我们已经有了一定的研究基础. 我们将在已有工作的基础上继续对Toda系统做深入的分析和研究. 通过对Toda方程组标准bubble及其非退化性的充分利用, 力争对Toda方程组的blow-up解序列的性态进行更精确地刻画, 寻求blow-up解存在的条件, 并揭示区域拓扑对解存在性的影响. 此外, 我们还将研究Bose-Einstein凝聚模型, 深入分析不同凝聚态分离点附近的渐近性态, 分析区域对分离点的影响.项目的研究能丰富非线性偏微分方程组的理论，发展新的方法, 并且对高温超导和量子理论中的一些的非线性现象提供深刻的了解.

本项目研究了以下两类具有物理背景的椭圆型偏微分方程组..(1) 非交换自对偶的 Chern-Simons 数学理论. 对于非交换的自对偶 Chern-Simons 涡旋, 经过一些合理的假设和变换, 这些涡旋在 Chern-Simons 耦合系数趋向于 0 时的渐近性态在数学上可以用 SU(N) 型 Toda 方程组来描述. 我们研究了 Toda 方程组的完全爆破解, 成功得到了 SU(3) Toda 方程组 blow-up 解关于参数的 blow-up 速度, blow-up 点的位置以及不再预期内的关于 blow-up 点存在性的另一个重要几何限制, 从而初步了解区域拓扑与解的存在性之间的关系. 此研究工作的创新之处: 对于 Toda 方程组而言, 整体解中含有高达 8 个自由参数, 我们通过充分利用整体解的非退化性, 成功克服了传统方法的不足, 得到了预期的一些结果, 而且这一想法理论上可以直接推广至一般 SU(N+1) Toda 方程组的情形. .(2) Bose-Einstein 凝聚的数学理论.量子理论中的 Bose-Einstein 凝聚现象是玻色子原子在冷却到绝对零度附近时所呈现出的一种气态的、超流性的物态, 上世纪二十年代由爱因斯坦和玻色预言的一种宏观量子效应. Gross 和 Pitaevskii 提出了描述玻色子原子处于基态时量子系统的方程, 并且被广泛地用来模拟 Bose-Einstein 凝聚. 当两种凝聚之间的相互作用是排斥, 而每种凝聚的内部作用是聚集的时候, 两种凝聚会表现出相分离的情形, 这无论在物理上还是数学上都是自然的结果. 我们考虑了两种凝聚之间的具有非常强的排斥作用时一维空间中的解在分离点处的变化情况, 这一点具有很好的研究价值, 因为在奇点处数值模拟通常不能得到较精确的结果. 我们证明了一维空间中有界态实际上关于“排斥参数”一致有界的, 而且进一步得到有界态解关于“排斥参数”是一致 Lipschitz 连续的.这一现象是非常特别的, 因为在高维空间中目前最好只能得到一致Hölder连续性. 此外, 我们进一步得到了大排斥参数发生时解的渐近性态.