非线性微分方程的单侧全局分歧和结点解

Many interesting bifurcation phenomena in natural sciences can be modeled by nonlinear differential equations with parameters. Conversely, the bifurcation theory of nonlinear differential equations with parameters can be applied to specific problems which have been discovered and described in nonlinear sciences. The study on unilateral global bifurcation and global interval bifurcation phenomena has attracted many famous mathematician's attentions since 1970s. There are many celebrated and profound results have been obtained on this topic. Unfortunately, these results either contain gaps or have very strong restrictions. Therefore, we shall study the unilateral global bifurcation phenomena for several classes of nonlinear differential equations and its applications. The unilateral global bifurcation results which we shall obtain not only correct the gaps but also remove some of the restrictive conditions of the previous results. In addition, the unilateral global interval bifurcation results which we shall obtain extend the previous results. The study on the existence of nodal solutions of nonlinear differential equations has essentially theoretical and practical significance. Based on the unilateral global bifurcation and unilateral global interval bifurcation theorems, we shall investigate the existence and nonexistence of nodal solutions for several classes of nonlinear differential equations. Moreover, to establish the unilateral global bifurcation and existence of nodal solutions, we also plan to establish the spectral theory of several classes of eigenvalue problems with sign-changing weights and half-quasilinear eigenvalue problems.

非线性科学中有许多有趣的分歧现象可以通过研究带参数的非线性微分方程解的全局结构来刻画。反过来，对带参数非线性微分方程的研究结果也可以应用到具体的非线性科学问题中。自上世纪七十年代以来，单侧全局分歧和全局区间分歧现象受到国内外众多知名数学家的关注，并取得了许多深刻的结果。但遗憾的是这些结果要么有错误、要么附有很强的限制条件。本项目计划研究几类非线性微分方程解集的单侧全局分歧和单侧全局区间分歧结构及其应用。要建立的单侧全局分歧结果既修正了之前部分结果的缺陷又去掉了之前部分结果的限制条件。将建立的单侧全局区间分歧定理也推广了之前的结果。对非线性微分方程结点解的研究具有重要的理论意义和现实意义。也计划用单侧全局分歧定理和单侧全局区间分歧定理研究几类非线性微分方程结点解的存在性和不存在性。此外，为了建立单侧全局分歧和结点解的结果，也计划建立几类带变号权函数的特征值问题和半拟线性特征值问题的谱理论。

非线性科学中有许多有趣的分歧现象可以通过研究带参数的非线性微分方程解的全局结构来刻画。反过来，对带参数非线性微分方程的研究结果也可以应用到具体的非线性科学问题中。上世纪七十年代以来，单边全局分歧和全局区间分歧现象受到国内外众多知名数学家的关注，并取得了许多深刻的结果。但遗憾的是这些结果要么有缺陷的、要么附有很强的限制条件。. 在本项目中首先我们研究了几类非线性微分方程解集的单边全局分歧和单边全局区间分歧结构及其应用。其次我们证明了带变号权的 p-Laplacian问题的特征值关于p的连续性和Sturm零点比较定理，建立了带变号权的拟线性问题的单边全局分歧定理以及半线性和拟线性问题的单边全局区间分歧定理。我们所建立的单边全局分歧结果既修正了之前部分结果的缺陷又去掉了之前部分结果的限制条件。建立的单边全局区间分歧定理也推广了之前的结果。此外，为了建立单边全局分歧和结点解的结果，我们也建立了几类带变号权函数的特征值问题和半拟线性特征值问题的谱理论。特别是肯定回答了著名数学家Berestycki提出的公开问题。最后，作为分歧理论和谱理论的应用，我们建立了几类非线性微分方程结点解的存在性、非存在性及多解性结果。. 在本项目的支持下，项目组成员按计划完成了全部预定研究内容，实现了预期目标，解决了关键问题，取得了一系列创新性成果，解决了一些在数学上极富挑战性的问题。获得了单边全局分歧和单边全局区间分歧及相关问题的谱结构等新理论，提出了半特征值等新概念，提出了分支逼近法等新方法。项目组成员共发表学术论文38篇，其中SCI检索论文31篇，主持人为第一或通讯作者的论文32篇，多篇论文发表在《J. Funct. Anal.》、《Calc. Var.》及《Discrete Contin. Dyn. Syst.》等国际权威杂志上。主持人所发表的论文被国内外同行引用达404次。主持人在科学出版社出版专著1部，获得省自然科学奖二等奖1次，高校科技进步一等奖3次。与此同时，主持人培养了10余名具有独立科研能力的研究生。. 上述结果和方法丰富了非线性分析和微分方程的理论内容，对于进一步发展分歧理论及其应用具有非常重要的科学意义。我们所获得结果和发展的方法不仅可以从数学上解决了一些大问题，而且对解决其它科学领域中的非线性问题具有十分深远的意义。