形变可积系统的怪波解及几何结构

The rogue wave and the geometric structure of the integrable system are two important fields in integrable system theory. Our project will study: (1) By using the generalized Darboux transformation and the generalized dressing method, we will study the rogue wave of the NLS equation with self-consistent sources, the Hirota equation with self-consistent sources and the Davey-Stewartson equation with self-consistent sources. We would obtain the general formula for the rogue wave. We would also discuss the interaction between different types of solutions. (2) We will construct the generalized Kupershmidt deformation for the Higher dimensional integrable system. We will obtain different kinds of solutions of the generalized Kupershmidt deformation system, such as the rogue wave, soliton and breathers and study their dynamical property. (3) Study on the geometric structure of the integrable system with generalized Kupershmidt deformation. We will find the connection between the motion of curves and the integrable system with Kupershmidt deformation. We will explain the geometric structure of the deformed integrable system.

可积系统的怪波解以及可积系统与微分几何的联系是可积系统理论的重要研究内容，具有重大意义。本项目将研究：（1）采用推广的Darboux变换方法、dressing方法，对带自相容源的非线性薛定谔方程、Hirota方程、Davey-Stewartson方程等带自相容源孤立子方程的怪波解进行研究，得到带自相容源孤立子方程的各阶怪波解的一般表达式。研究带自相容源孤立子方程的不同类型的解之间的相互作用。（2）构造高维可积系统的推广的Kupershmidt形变。研究推广的Kupershmidt形变方程的求解问题，得到推广的Kupershmidt形变可积系统的怪波解及其它类型解，并研究其动力学行为。（3）研究推广的Kupershmidt形变可积系统的几何结构。建立曲线运动与推广的Kupershmidt形变可积系统之间的联系，给形变可积系统几何上的解释。

本项目的研究成果为：（1）研究了形变可积系统的结构以及之间的联系。在Sato理论框架内，得到了形变KP方程族，形变mKP方程族，形变Harry-Dym方程族之间的联系，并通过规范变换和reciprocal变换研究了它们的精确解。（2）研究了形变可积系统及变系数可积系统的求解问题，包括耦合薛定谔方程，变系数NLS方程，变系数高阶NLS方程，变系数Hirota方程，带自相容源的NLS型方程等。通过达布变换方法或双线性方法得到了它们的各种类型的解，如孤立子、呼吸子、怪波等。（3）研究了可积系统的可积耦合，从谱问题出发，得到了新的两分量Casimir-Qiao-Liu方程族以及一个新的孤立子方程族，通过构造其双哈密尔顿结构证明了它们的可积性。（4）研究了具有空间调制非线性和时间调制非线性的玻色-爱因斯坦凝聚系统，得到了它的Jacobi椭圆函数解，分析了解的动力学行为，并且讨论了解的稳定性。