插值特殊曲线的可展曲面与极小曲面构造研究

Developable surface, minimal surface, geodesic and line of curvature play an important role in Computation Geometry, Computer Aided Design, Computer Aided Geometric Design etc..They are research hotspots all the time. At present, many researches involve only one project. However, in production practice, the designers hope to obtain construction method of surface which satisfies some special demands. Then how to mix these objects together effectively has a strong theoretical and application value for geometric modelling area. This project will do some researches on constructing methods of approximate minimal surface and implicit algebraic developable (approximate developable) surface interpolating special curves. The main contents are as follows: Construct the approximate Plateau-Bézier surface interpolating geodesic or line of curvature; Give the constructing method of implicit algebraic developable (approximate developable) surface with low degree which interpolate geodesic or line of curvature, and study the geometric blending problem by B-net. Based on this, this project will give the smooth blending conditions of some algebraic developable surfaces.

可展曲面、极小曲面以及曲面上的两类特殊曲线测地线、曲率线在计算几何、计算机辅助设计、计算机辅助几何设计等领域发挥着非常重要的作用， 一直是人们研究的热点。目前的研究大多只是针对其中某一个研究对象，而在生产实践中，设计师希望得到满足某些特殊要求的曲面构造方法，因此如何将这些研究对象进行有效融合对几何造型领域具有很强的理论和应用价值。本项目拟开展欧式空间中插值特殊曲线的近似极小曲面与隐式代数可展(近似可展)曲面构造方法的研究。包括以四条首尾相接的Bézier曲线围成的曲边形为边界，并使边界曲线满足测地线或曲率线条件的近似Plateau-Bézier曲面的构造；给出插值测地线或曲率线的低次隐式代数可展(近似可展)曲面的构造方法，并利用B网方法对其几何光滑拼接问题进行研究；在此基础上本项目还拟结合已有代数结论和研究多元样条的光滑余因子方法给出多片低次隐式代数可展曲面的光滑拼接条件。

本项目基本按照研究计划执行，围绕曲线曲面造型的理论和应用开展研究工作，主要研究重点为：1. 插值特殊曲线的曲面构造研究，包括欧式空间和三维Minkowski空间中以给定non-null参数曲线为曲率线的类空可展曲面的构造，欧式空间插值曲率线的可展曲面设计，插值有理Bezier渐近四边形的有理Bezier曲面的构造等。2. 两类特殊曲面的拼接和分类研究，包括G1拼接以四条Bezier曲线为边界的多片可展曲面的拼接，利用极小曲面的weierstrass表示及在标准主参数意义下法曲率完全决定了极小曲面将双五次极小曲面进行分类等。3. Toric曲面的理论和应用研究，包括Toric曲面一阶几何连续，Plateau-Toric问题，利用Toric理论研究NURBS曲面的单值性以及有理Bezier曲面的单值性等。4. 样条理论及其应用研究，包括半代数样条的空间维数以及满足一定几何约束的B样条曲面的构造等。5. PH曲线插值的理论研究，包括六次PH曲线的G2 Hermite插值问题以及用三种方法判定正则六次PH曲线的构成条件等。在项目执行过程中，项目组成员每周都以讨论班的形式对课题进行讨论和分析，取得了一系列的研究成果，在CAGD, Computers & Graphics，JCAM，Applied Mathematics and Computation, Advances in Mechanical Engineering，《高校应用数学学报(英文版)》，JAMDSM，《中国科学》，《计算机辅助设计与图形学学报》，《图学学报》等国内外著名期刊上发表论文14 篇，其中SCI 收录9 篇，EI 收录1 篇。项目组成员参加多次国内国际会议，并做分组报告。项目共计培养硕士生2名，协助培养博士4名。