Cayley-Klein几何及相应的相似几何中的曲线运动

The project will study the motion of curves in Cayley-Klein geometry（Galilean geometry, pseudo-Galilean geometry, simple isotropic geometry etc.) and the associated equiform geometry, establish their corresponding integrable systems. We study the concrete forms of curve invariants with the local coordinates in Cayley-Klein geometry（Galilean geometry, pseudo-Galilean geometry, simple isotropic geometry etc.) and the associated equiform geometry, thus the theories .of curves in these geometries are built; we discuss the relationships between evolution laws of curves in these geometries and integrable partial differential equations, prove that many integrable systems arise from the curve motions; we study the periodic solutions, traveling wave solutions, similar solutions etc. of these integrable systems, and discuss the evolution laws of curves corresponding to these solutions..The study will have important applications in mathematics, physics, image processing etc. fields, research results will enrich and deepen the content of curve motions and integrable systems in a certain extent, lay a foundation for the future relevant research.

本项目拟研究Cayley-Klein几何（Galilean 几何、pseudo-Galilean 几何、simple isotropic几何等）及相应的相似几何中的曲线运动，建立它们所对应的可积系统。研究Cayley-Klein几何（Galilean 几何、pseudo-Galilean 几何、simple isotropic几何等）及相应的相似几何中的曲线不变量在曲线的局部坐标下的具体形式，建立这些几何中的曲线理论；探讨这些几何中的曲线的运动规律与可积的非线性偏微分方程之间的关系，证明这些可积的非线性偏微分方程产生于这种曲线运动；研究这些可积方程的周期解、行波解、相似解等，并讨论对应于这些解的曲线的演化规律。.本项目研究的问题在数学、物理、图像处理等领域都有重要应用，研究成果将在一定程度上丰富和深化曲线运动与可积系统的内容，为今后相关领域的研究工作奠定一定的基础。

数学、物理、生物、图像处理、计算机可视化、化学等学科中的许多现象都是以曲线运动为模型的，因此，研究曲线运动具有重要意义，一方面，可以为解释数学、物理、生物等学科中的许多现象提供理论参考，另一方面，能够促进可积系统研究的新方法和新理论的出现。. 微分几何中的曲线局部上完全由它们的微分不变量所决定，而微分不变量是构造不变微分方程和不变变分问题的基石。. 本项目研究Cayley-Klein几何的子几何—Galilean平面、空间及相应的相似几何中的曲线的运动规律与可积系统之间的关系。具体研究内容分为以下两个方面：.1）Galilean几何及相应的相似几何中的曲线不变量理论. 基于Fels-Olver的等变活动标架法，给出了Cayley-Klein几何的子几何—Galilean平面、空间及相应的相似几何中的曲线活动标架，并得出这些几何中的曲线不变量在曲线的局部坐标下的具体形式，建立这些几何中的曲线不变量理论。.2）Galilean几何及相应的相似几何中的曲线运动. 对Cayley-Klein几何的子几何—Galilean平面、空间及相应的相似几何中的曲线的运动规律进行研究，证明了inviscid Burgers方程、viscous Burgers方程、Burgers方程等非线性偏微分方程产生于这种曲线运动，从而将这些曲线运动与可积的非线性偏微分方程建立联系。. 本项目研究的问题在数学、物理、图像处理等领域都有重要应用，研究成果将在一定程度上丰富和深化曲线运动与可积系统的内容，为今后该领域的研究工作奠定一定的基础。