熵稳定自相似解的分类及其在泛几何流中的应用

Recently by using the notion of entropy-stability, Colding and Minicozzi proved a long standing conjecture (Huisken）concerning the singularities under generic mean curvature flow. The notion of entropy-stability has great generality to be applied to other generic geometric flows. The project "Classification of entropy-stable self-similar solutions and applications in generic geometric flows" mainly contains study of entropy formula, properties of entropy functional, the relation between entropy-stability and F-stability, classification of entropy-stable self-similar solutions, compactness result of the moduli space of self-similar solutions, and their applications to generic geometric flows. Regarding the geometric flows in the project, we focus on harmonic map heat flow, Lagrangian mean curvature, Sasaki-Ricci flow and Yang-Mills flow. In the project we are interested in new techniques in treating F-stability inequality, and in new application forms of generic geometric flows.

最近Colding与Minicozzi利用熵稳定性的概念证明了Huisken关于泛平均曲率流下的奇点分类方面的一个猜想。熵稳定性的概念具有很大的一般性，可应用于其他泛几何流的研究。本项目"熵稳定自相似解的分类及其在泛几何流中的应用"计划围绕自相似解的熵稳定性概念及其在泛几何流中的一些简单应用展开研究。研究内容主要包括熵公式，熵泛函的性质，熵稳定性与F-稳定性的关系，熵稳定自相似解的分类，自相似解模空间的紧性，以及它们在泛几何中的一些简单应用。我们感兴趣的几何流包括调和映射热流，Lagrangian平均曲率流，Sasaki-Ricci流和Yang-Mills流。本课题的创新之处主要在于寻找处理张量场变量的F-稳定性不等式的方法，以及泛几何流新的应用形式。

2012年，Colding与Minicozzi利用熵稳定性的概念证明了Huisken关于泛平均曲率流下的奇点分类方面的一个猜想。熵稳定性的概念具有很大的一般性，可适用于其他几何流的自相似解，甚至可用来研究几何流的本性奇点。在本项目“熵稳定自相似解的分类及其在泛几何流中的应用”中，我们研究了Yang-Mills流相似解的熵稳定性概念，并且研究了Lagrangian平均曲率流自相似解的Lagrangian F-稳定性。这两部分工作包含在两篇文章中。在第一篇文章中，我们定义了联络的F-泛函、熵，证明了熵公式，即熵沿着Yang-Mills流的递减性。在此基础上我们定义了Yang-Mills流自相似解的熵稳定性与F-稳定性，研究了熵稳定性与F-稳定性的关系，并利用Jacobi算子的谱给出F-稳定性的等价刻画。在第二篇文章中，我们主要研究了紧致无边的Lagrangian平均曲率流自相似解的Lagrangian F-稳定性与Hamiltonian F-稳定性，即在Lagrangian或Hamiltonian形变下的F-稳定性。我们给出了相对完整的分类。特别的，我们证明了第一贝蒂数大于或等于2的紧致无边自相似解都不是Lagrangian F-稳定的。文章分别发表在Transactions of the American Mathematical Society和Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik上。