多边形区域上高波数Helmholtz问题的新型数值Fokas解法研究

As a frequently-used method for solving Helmholtz problems, the Fokas method, or known as the unified transform, is an important approach to beat high-wavenumber problems. By combining quadrature rules of oscillatory multifrequency integrals and numerical solutions of singular and oscillatory integral equations, this project is restricted to studying the numerical Fokas method for solving Helmholtz equations in polygons with high wavenumbers, and developing a fast and high-order algorithm for implementing the Fokas method. The specific contents of this project are listed as follows: 1) new Levin methods are constructed to computing oscillatory multifrequency curvilinear integrals; 2) high-performance algorithms for general boundary value problems are devised with the help of the Riemann-Hilbert problem and the Filon method; 3) asymptotic properties of numerical solutions with respect to wavenumbers are studied based on the oscillatory integral theory. Expected results of this project will not only promote the progresses in both numerical solutions of Helmholtz problems with high wavenumbers and the numerical Fokas method, but also enrich numerical studies on Riemann-Hilbert problems arising in the integrable system, the random matrix theory and etc.

Fokas方法（或统一变换）是求解Helmholtz问题的常用方法，也是突破高波数问题的重要途径。本项目结合多频振荡数值积分算法与奇异振荡积分方程算法，研究多边形区域上高波数Helmholtz问题的数值Fokas方法，并构造实现Fokas方法的快速、高精度算法。具体研究内容包括：1）针对Fokas方法中的多频振荡曲线积分，设计新型Levin方法；2）针对一般边值问题，利用Riemann-Hilbert问题、Filon方法，设计适用范围更广的高性能算法；3）基于振荡积分理论研究数值解关于波数的渐近性分析。本项目的预期研究成果既将促进高波数Helmholtz问题数值计算以及数值Fokas方法的发展，也将丰富可积系统、随机矩阵等领域中Riemann-Hilbert问题数值解的研究内容。

高波数Helmholtz方程是刻画高频散射问题的有效工具，而Fokas方法（或统一变换）是求解Helmholtz问题的常用方法。在Fokas方法的构造中，不可避免的需要解决高振荡积分数值计算以及奇异积分方程数值解等问题。本项目研究数值Fokas方中高振荡数值积分与积分方程数值解问题，具体研究结果包括：基于重心有理插值提出了计算高振荡积分的有理Levin求积公式，并结合非线性变换将新型求积公式应用于弱奇异，接近奇异以及含驻点的高振荡积分数值计算；针对二维接近奇异高振荡积分，结合谱系数方法以及对数划分技术构造了一类复化Levin算法，该方法的计算效率不受振荡性以及接近奇异性的影响；针对含有弱奇异核的高振荡积分方程，通过研究高振荡矩积分的渐近性质给出了Filon配置方法的依频率收敛阶，数值实验验证了所提出的 Filon 配置解的依频率收敛阶是最优的；针对弱奇异的积分方程，利用局部分数阶Lagrange插值高精度逼近奇异解，进而构造了一类分数阶配置边值方法，并通过分析离散矩阵中矩积分的渐近性建立了分数阶配置边值解的存在性与收敛性理论；针对第一类积分方程，利用Toeplitz算子理论与Laurent多项式研究了块配置边值解的存在性以及收敛性；针对自卷积的非线性积分方程，建立了配置边值解的存在性与收敛性理论。