关于2×2分块算子矩阵共轭算子的研究

分块算子矩阵是由Banach空间或者Hilbert空间中线性算子构成的特殊矩阵，它广泛出现于系统理论、非线性分析以及发展方程问题等领域。比如，Hamilton系统导出的无穷维Hamilton算子和电磁场论问题导出的Dirac算子均是分块算子矩阵。另一方面，共轭算子在线性算子理论和谱理论中扮演着十分重要的角色，著名的Lax-Milgram定理就是与Hilbert空间上有界线性算子的共轭算子问题有关。因此，分块算子矩阵的共轭算子的研究对于解决分块算子矩阵谱理论问题和一些数学物理问题具有决定性作用。然而，无界分块算子矩阵共轭算子的形状十分复杂，甚至不一定具有分块形式，要刻画它的共轭算子并非易事。本项目拟通过研究无界2×2分块算子矩阵的谱结构、本质谱扰动、二次数值域和强连续算子半群表示等内容，刻画它的共轭算子形状，进而为解决非自伴算子谱理论问题和应用偏微分方程的求解问题奠定理论基础。

从实际应用角度来说, 分块算子矩阵在应用偏微分方程求解问题、弹性力学、流体力学、磁流体动力学以及量子力学等数学物理问题中有重要应用. 比如, Ekman 边界层稳定性问题可以转化为以分块算子矩阵问题. 从理论研究角度来说, Hilbert空间中的一般线性算子在一定条件下可以转化成分块算子矩阵的形式, 如, 可约算子可以写成上三角分块算子矩阵形式. 因此, 关于分块算子矩阵的研究不仅有广泛的实际应用价值, 而且有深厚的理论背景. 本项目以2×2分块算子谱分析为主线, 运用Kato扰动理论, Schur补以及近似零空间等理论研究了分块算子矩阵的共轭算子, 数值域和二次数值域, 可逆性以及谱估计等问题, 得到了分块算子矩阵的共轭表示, 无穷维Hamilton算子的数值域谱包含性质以及上三角分块算子矩阵可逆的充分必要条件等结论, 为构建基于分块算子矩阵谱理论的解决应用偏微分方程求解问题的数学方法提供了数学依据.