张量变分不等式的理论与算法

The tensor variational inequality is a new research direction in the field of finite dimensional variational inequalities. As one of its subclasses, the tensor complementarity problem has obtained rapid development since it was studied in 2015. This project aims to systematically study the theory and algorithms of tensor variational inequalities and tensor complementarity problems. After investigating the theory and algorithms of tensor complementarity problems, this project focuses on the theory and algorithms of tensor variational inequalities. By making use of the theory and analysis method of tensor analysis and polynomials, and of finite dimensional variational inequalities and complementarity problems, in theoretical aspect, this project focuses on the existence and uniqueness of the solution, the boundedness of the solution set and the error bound theory of tensor variational inequalities; and in the aspect of algorithm, this project mainly designs efficient algorithm with good convergence propertiess, including smoothing-type algorithms and alternating-type iterative algorithms, to solve tensor variational inequalities and tensor complementary problems, and tests the effectiveness of the proposed algorithms. The smooth implementation of this project not only can provide new theory and methods for studies on finite dimensional variational inequalities and complementarity problems, but also can promote the crossover and integration of tensor analysis, variational inequalities and complementarity problems and optimization methods, and trigger the rapid development of this emerging cross field.

张量变分不等式是有限维变分不等式领域中一个新的研究方向，作为它的重要子类之一的张量互补问题，自2015年开始研究后得到了快速的发展。本项目旨在系统地研究张量变分不等式与张量互补问题的理论与算法。项目拟从张量互补问题的理论与算法研究入手，重点探讨张量变分不等式的理论与算法。通过利用张量分析和多项式的理论与分析方法，以及有限维变分不等式和互补问题的理论与分析方法，在理论方面重点探讨张量变分不等式的解的存在性与唯一性、解集的有界性、误差界理论等；在算法方面主要是设计求解张量变分不等式与张量互补问题的包括光滑型算法和交替迭代型算法在内的具有良好收敛性质的高效算法，并进行有效的的数值实验。本项目的顺利实施不仅为有限维变分不等式与互补问题的研究提供新的理论与方法，而且能够促进张量分析、变分不等式与互补问题及优化方法的交叉与融合，推动这一新兴交叉领域的快速发展。

张量互补问题与张量变分不等式问题分别起始研究于2015年和2018年，是有限维变分不等式与互补问题领域中一个新的研究方向。本项目旨在研究张量互补问题与张量变分不等式问题的理论与算法。主要获得了以下两个方面的成果：（i）在理论方面，针对包含张量变分不等式问题作为特例的广义弱齐次变分不等式问题，建立了该类问题解的全局唯一性理论，所获得的结果即使退回到张量变分不等式与张量互补问题也改进了已有的相关结果；从不同的角度，提出了广义弱齐次变分不等式问题解集非空紧的若干个充分条件，当所考虑的问题退回到张量变分不等式问题时，所获得的部分结果也改进了文献中的已有结果；针对包含张量变分不等式问题作为特例的一类混合张量变分不等式问题，在适当的条件下讨论了问题解集的非空性与紧性，所获得的结论改进了文献中的相应结果；利用Q-张量建立了几个张量互补问题解的存在性结果；利用结构张量建立了几类张量互补问题的可解性与可行性等价的等价性结果；探讨了张量互补问题解映射的连续性、解集的连通性以及解的稳定性等。（ii）在算法方面，分别提出了不动点迭代算法、势函数下降算法、张量半定规划算法、同伦光滑算法、超松弛迭代算法等，建立了所提出算法的收敛性理论，并且给出了有效的数值实验结果，展示了所提出算法的有效性。本项目的实施不仅为有限维变分不等式与互补问题的研究提供新的理论与方法，而且促进张量分析、变分不等式与互补问题及优化方法的交叉与融合，推动这一新兴交叉领域的快速发展。