子空间编码及相关组合结构的研究

Subspace codes form a particular class of error-correcting codes, with underlying alphabet the set of subspaces of a projective geometry over a finite field. They were introduced by Koetter and Kschischang in their work on noncoherent network coding.The aim of the proposed research project is to develop an algebraic theory of subspace codes with particular emphasis on new code constructions, following traditional finite geometry and the geometric framework established recently.Part of the project will be devoted to the compilation of tables of optimal subspace codes and their parameters, and to the decoding problem for such codes. Moreover, we will explore the links with q-analogues of combinatorial designs, a subject born 25 years ago and being revived by the recent discovery of the first nontrivial q-analogues of Steiner systems.

子空间编码是一类特殊的纠错码，它的码书是有限域上射影几何的子空间的排列的集合。Koetter和Kschischang在研究非相干网络编码时最早提出了子空间编码。该研究项目的目标是利用传统的有限几何以及最近新建立的几何框架来发展子空间编码的代数理论特别是发现新的码结构。该项目的部分工作是编制最优子空间码的表、得到最优码对应的参数以及解决随之而来的译码问题。此外，项目将探索子空间编码与组合设计q-类似之间的关系，组合设计q-类似的研究始于25年前，最近发现的第一例Steiner系q-类似又使该领域充满了生气。

子空间编码的主要问题要求分别确定具有给定参数的子空间码的最大基数以及在恒定维情况下，确定具有给定参数的恒定维码的最大基数。恒定维码用于随机线性网络编码中的纠错，并且在保持其余参数不变的情况下，最大基数的编码在最大化传输速率的意义上是最佳的。该项目中的研究通过建立等维和混合维情况的新结构和界限，大大提高了对有关子空间编码主要问题的认识。在关于部分扩展和可分码的子项目中，研究了一个极端情况，在该情况下，恒定维的两个代码字仅相交。建立了部分扩展和投影可分割代码之间的链接，这导致了基于相应可分解代码分类的部分扩展的边界改进。