离散动力学与其它

Given some maps from a set to itself, their compositions give rise to a discrete dynamical system (DDS). This simple model has vast application backgrounds and turns out to be a basic mathematical structure for which only very little systematic understanding is obtained. For different discrete dynamics systems, the corresponding study may involve quite different mathematics tools and leads to many new mathematical structures and problems. We will try to characterize the phase spaces of a DDS with background from Lie algebra, called the lit-only sigma game. We will try to study the dynamical behaviors of higher order Markov chains, including both combinatorial properties and analytical properties. We will try to study various synchronizing properties of automata, controllability properties in control theory and the relevant Boolean dynamical systems. We study various homomorphism problems for shift spaces in symbolic dynamics and the relevant digraph homomorphism problems, especially with a viewpoint from category theory. We will try to understand higher order Markov chains from the study of the corresponding hypergraphs, including investigating cycles and acyclicity of hypergraphs from the viewpoint of sheaves on hypergraphs.

一个集合上若干自映射的迭代就形成了一个离散动力系统。这个模型既有广泛应用背景，又是数学上非常基本但缺乏系统了解的一种结构。对不同方式给出的离散动力系统，相关研究会与许多不同数学分支有关，会引出许多新鲜有趣的数学结构和数学问题。我们致力于完成有李代数背景的限亮西格玛博弈的相空间的完整刻画；我们致力于理解高阶马氏链的动力学行为，包括研究相关的高阶张量组合性质以及相关的Perron-Frobenius理论分析性质到高阶张量的推广；我们致力于讨论自动机的同步化性质，控制论中相应可控性问题，以及对应布尔动力系统中动力学行为的系统理论；我们致力于理解符号动力系统的各种同态问题，其与图同态问题的关联和从范畴论中的函子角度提出的若干构造对理解符号动力系统态射问题的应用等；我们致力于研究高阶马氏链（高阶张量）和对应的超图的关系，包括从超图上的层的观点来理解超图的圈以及超图圈性对动力学行为的影响。

本项目研究了若干离散动力系统模型，研究了约束满足问题，包括图同态以及可满足问题，研究了进化树，竞赛数和发育数，发现了区间图上高效图搜索算法，提出了以高阶马氏链为背景的多变量图论，研究了若干结合方案和酉设计的构造和分类，围绕equitable partition和图上switching操作研究了若干代数图论问题。代表作之一报道了我们对限亮西格玛博弈这一有李代数背景的离散动力系统的分类结果，其中包括我们提出的模二线图概念以及对模二线图的结构刻画。代表作之二将目前广泛研究的图论看作单变量图论，自然引入了多变量图论概念，并且将其与高阶马氏链相对应，尤其建立了高阶拓扑马氏链的一些基本结果和揭示许多待研究课题。本项目发表基金标注论文36篇，培养博士后两名，毕业博士三名，毕业硕士六名。2019年夏,我们在三峡数学研究中心组织了为期两周的国际会议暨暑期学校“群与图，设计与动力系统”。