非局部时滞反应扩散方程的动力学行为及其应用

By applying comprehensively the theory of partial functional differential equations, perturbation theory of linear operators, operator semigroup theory, estimation of iterated Green functions, theory of monotone dynamical systems, the method of super and sub solution and fixed point theory, we will systematically study dynamics of solutions to nonlocal delayed reaction diffusion equations with various initial and boundary value problems and traveling wave solutions to such kind of equations. New approaches will be explored and new theories will be established. In particular, in the case of bounded domains, some fundamental problems will be investigated for non-quasimonotone systems and non-cooperative-competitive systems , such as existence, uniqueness and global stability of solutions to these systems with Dirichlet initial boundary value problems in one dimensional and higher dimensional spaces. In the case of unbounded domains, new methods have to be developed to study traveling wave solutions to delayed nonlocal reaction diffusion equations, in which different dependent variable spreads at different speed. Based on the rigorous analysis on the realistic diffusive modes in population ecology and epidemiology, we will also establish and study some new mathematical models in accord with the biological reality so as to find new biological phenomena. This project will provide some new approaches to deal with some basic problems for nonlocal delayed reaction diffusion equations, and fill a gap in this field.

本项目综合应用偏泛函微分方程理论、线性算子的扰动理论、算子半群理论、迭代Green函数估计、单调动力系统理论、上下解方法以及不动点理论等现代数学工具，对非局部时滞反应扩散方程各类初边值问题的解和行波解的动力学性质进行深入系统的研究，探索新的研究方法，发展新的理论。特别地，在有界区域情形，研究非拟单调系统和非合作竞争系统在空间为一维和高维情形下Dirichlet初边值问题解的存在唯一性与全局渐近稳定性等基本问题；在无界区域情形，对非局部时滞反应扩散方程组中不同未知量具有不同传播速度的行波解发展新的研究方法，形成较为系统的理论；对种群生态学和传染病学中出现的扩散现象建立新的数学模型，探索符合生物学和传染病学的新的扩散模式，并对这些模型进行系统的研究，发现新的生物学现象。本项目为解决非局部时滞反应扩散方程的一些基本问题提供新的研究思路，填补这一领域的研究空白。

本项目在非局部时滞反应扩散方程的全局动力学行为、治疗肿瘤的溶瘤病毒疗法的数学模型、时滞微分方程的周期解、时间离散扩散系统的行波解以及微分方程理论在种群生态学和传染病动力学的应用等方面进行了深入系统和广泛的研究，完善了非局部时滞反应扩散方程理论，发展了新的研究方法，对实际问题的研究建立了新的数学模型，提供了理论基础。. 具体地说，对一类具有年龄结构的人口动力学模型在齐次Dirichlet边界条件下，研究了该模型解的动力学性质，给出了平凡解和唯一正驻定解全局渐近稳定的充分条件。对一类有界域上具有年龄结构的成年个体不扩散的非局部种群模型，研究了在Dirichlet和Neumann边界条件下，零解和正稳态解的存在性和全局渐近稳定性。研究了单调迭代方法在非局部时滞反应扩散方程稳态解的存在性和稳定性中的应用，证明了每个利用单调迭代方法得到的非局部时滞反应扩散方程的稳态解都是稳定的。研究了一类一般的非局部时滞反应扩散方程组在拟单调增加和混合拟单调两种情形下的全局动力学，并且将结果应用于研究具有潜伏期的空间扩散传染病模型，得到传染病是否流行的阈值条件。. 针对一种新型的溶瘤病毒(M1病毒)的发现，在不同的情形下，分别建立了相应的数学模型来描述溶瘤病毒对肿瘤生长的抑制作用，给出了不同的治疗策略（病毒剂量的最优值），从数学的角度验证了：免疫抑制药物能够提高溶瘤病毒的溶瘤效应。基于近年来叶甲虫对入侵植物柽柳进行生物控制有效性的研究，建立了一个三种群（本地生物种群，控制生物种群及其它们的捕食者）的数学模型，讨论进行生物控制的好处和潜在的风险。应用Galerkin逼近技巧和伪指标理论研究了含有偶数个时滞的Kaplan-Yorke型微分方程系统周期解的多解性，从而彻底解决了高维情形下含有多个时滞的Kaplan-Yorke猜测。