组合序列的符号计算与递推关系

Symbolic computation plays a more and more important role in combinatorics. In this project, we will consider the symbolic computation methods on several kinds of combinatorial sequences from the point of view of the recurrence relations. We will focus on the following objects: 1. The sequences which satisfy non-linear recurrence relations. We will study their algebraic representations, the indefinite summation problem and the recurrence relations of related sums. 2. Multi-sums. We will investigate the indefinite summation of multi-variable hypergeometric terms and seek for fast algorithms for proving identities on multi-sums. 3. Determinants. We will focus on the symbolic evaluations of Hankel determinants and the determinants whose values are products of simple factors. 4. Congruences. We will construct algorithms for proving the congruences of algebraic sequences and their sums.

符号计算方法在组合数学中发挥着日益重要的作用，本项目将从递推关系的角度研究几类组合序列的符号计算方法，我们将关注以下内容： 1. 满足非线性递推关系的序列。我们将研究其代数表示，不定和问题，以及和式的递推关系。 2. 多重和。我们将研究多变量超几何项的不定和问题，探索证明多重和恒等式的快速算法。 3. 行列式。我们将研究Hankel行列式与值为简单因子乘积的行列式的符号计算方法。 4. 同余式。我们将构造机械化算法来证明代数序列及其和式的同余等式。

符号计算方法在组合数学中有着广泛的应用，本项目主要研究几类组合序列的符号计算方法，主要进展包括：.1. 给出了错排多项式的交错对数凹性质的一个组合证明。利用同样的方法，证明了欧拉多项式也具有这些性质。.2. 研究了线性差分方程组有理函数解的万有分母，证明了一般情况下，Abramov的估计是最优的，并在两种特殊情况下，对Abramov的估计进行了改进。.3. 证明了关于数n的受限制的m元分拆（其中m是任意正整数）的计数的一系列同余式，从而解决了Andrews等人的猜想。.4. 利用双重和的telescoping方法，将求和项中包含了中心三项式系数、Domb数、Franel数等组合数的双重和化为单重和，利用这一方法验证了孙教授的很多公开猜想。.5. 利用拆分等式和生成函数，得到了一些与仿theta函数相关的分拆函数的同余关系。