拟共形映射理论中的特殊函数及其 Heisenberg 群上的连分数

This project will focus mainly on several hot topics concerning special functions in quasiconformal mappings and the theory of continued fractions on Heisenberg group. The main contents and aims are as follows: (1) Giving the infinite series formulas and sharp upper and lower bounds for complete elliptic integrals and Ramanujan R-function, and extending some classical properties of complete elliptic integrals to the generalized elliptic integrals and zero-balanced hypergeometric functions; (2) Establishing the basic properties for the generalized Ramanujan modular equations with signatures 1/3, 1/4 and 1/6, finding the infinity-product representations for generalized Hübner upper bound functions with parameters, and providing the precise evaluations of the solutions of generalized Ramanujan modular equations, proving the submultiplicative property of Hersch-Pfluger distortion function and providing its asymptotic precise bounds, and improving the well-known Mori constant and Schwarz lemma in quasiconformal mappings; (3) Raising and solving the Diophantine approximation problem, Lagrange theorem and convergence criterions in the theory of continued fractions on Heisenberg group, and perfecting the theory of continued fractions on Heisenberg group using Eisenstein integrals. This project is interdisciplinary and comprehensive, and has broad theoretical application prospects.

本项目将着重研究拟共形特殊函数和 Heisenberg 群上的连分数理论中的若干前沿热点问题。具体研究内容和目标为：(1)给出完全椭圆积分和 Ramanujan R-函数的无穷级数公式和渐近精确上下界，将完全椭圆积分的经典性质推广到广义椭圆积分和零平衡超几何函数；(2)建立符号差为1/3，1/4和1/6的广义模方程的基本性质，寻找出带有参数的广义 Hübner上界函数的无穷乘积表达式，提供广义模方程解的精确估计，证明 Hersch-Pfluger 偏差函数的次可乘性并给出其渐近精确界，改进著名的拟共形 Schwarz 引理和 Mori 常数；(3)提出并解决 Heisenberg群上连分数的 Diophantine 逼近问题、Lagrange 定理和收敛准则，完善 Heisenberg群上的 Eisenstein 整数连分数理论。本项目具有很强的学科交叉与综合性和广阔的理论应用背景。

拟共形映射理论研究中出现的一些共形不变量，偏差函数一般都可用特殊函数表示，自上世纪90年度以来，拟共形映射理论中的特殊函数的研究一直备受关注，众多研究成果被众多学者所获得，而且被广泛应用到其他领域，如Ramanujan模方程理论，解析函数理论，微分方程理论. 另一方面，2000年，著名数学家Beardon揭示了连分数与Mobius变换、离散群和双曲几何之间的内在联系，与Short一起给出了经典连分数收敛准则的完整的几何解释. Heisenberg群作为复连分数的推广, Vandehey探讨了Heisenberg群上连分数的一些收敛定理，并且建立了它的Diophantine逼近理论和周期性质。本项目主要研究了拟共形映射理论中的特殊函数和Heisenberg群上连分数理论中的一些前沿问题. 首先证明了完全椭圆积分关于Holder平均值的凹凸性，建立了初等函数给出新的渐近上下界，解决和发现了关于第一类完全椭圆积分在1点附近的渐近性质的三个猜测和新的无穷级数公式；结合Holder平均值和加权的Holder平均值，将完全椭圆满足的一些性质和不等式推广到广义椭圆积分、p-完全椭圆积分及其零平衡超几何函数；然后，研究了广义Ramanujan模方程和相关的模方程函数，导出了参数为3和4的广义Hubner上界函数的无穷乘积公式，获得了广义模方程解的精确估计；建立了Hersch-Pfluger偏差函数满足次可乘性质和幂次可乘性质的充分必要条件，改进了著名的拟共形Schwarz引理; 最后, 利用Clifford代数和连分数，建立了高维Mobius变换限定序列的充分必要条件，从代数(Clifford矩阵的范数)和几何(超弦圆盘面积)两个的角度解释了高维Mobius变换限定序列.