具有奇异解的纳维尔－斯托克斯方程的基于L2 投影的多尺度稳定化有限元方法

本项目以不可压缩流体纳维尔-斯托克斯方程为对象，研究奇异解情形下的多尺度稳定化有限元方法。奇异解指解的梯度不是平方可积函数。例如，方腔顶盖驱动流 Stokes 问题的解是奇异解。研究内容涉及发展适用于解决Babuska-Brezzi 条 件约束、边界层、内部层问题的稳定性好且易于实现的多尺度稳定化有限元方法及其理论。研究重点是处理奇异解，将采用L2 投影方法，构造局部多尺度基与设计稳定化格式，最优逼近奇异解。项目在方法构造、稳定性、收敛性、误差估计等方面将建立一套严格数学理论，并通过一系列基准问题的数值实验，检验理论的正确性与方法的有效性，也在高性能计算机上对一些实际问题做数值实验，为推广到实际应用取得经验。由于纳维尔-斯托克斯方程是许多物理与工程领域（如气象、海洋、能源、材料等）中被广泛实际使用的流体动力学非线性数学模型，因此研究其数值方法具有数学与应用上的重要意义。

本项目已按计划顺利完成项目中制定的研究内容和研究目标，达成了预期研究效果；本项目取得了多项重大原创性创新研究成果或进展。本项目的背景：具有奇异解纳维尔-斯托克斯方程组有限元方法研究。这类问题数值方法极端困难，特别是奇异解、边界层解、多介质以及非线性、散度自由情形。奇异解是一类非常弱的解，不属于H1 空间，甚至仅属于L1空间。 这类奇异解使得基于L2梯度的Dirichlet 变分积分的有限元方法不适用，其有限元解不能正确收敛。纳维尔-斯托克斯方程组奇异解数值方法几乎没有人研究过，与此相关的文献也很罕见。本项目研究这类奇异解有限元方法及其数值分析理论不仅是国内外第一，而且科学应用价值重大。长期伴随纳维尔-斯托克斯方程组有限元方法的重大课题是边界层现象、散度自由约束及非线性。这些课题，众所周知，一直是推动混合有限元方法发展的主要动力；如何构造一个有效有限元方法克服边界层、散度自由、非线性、多介质所带来的不稳定性不收敛性难题一直是重大挑战。本项目主要研究内容是奇异解下的纳维尔-斯托克斯方程组新型多尺度稳定化有限元方法，具体包括发展解决Babuska-Brezzi 条件(散度自由)约束、边界层、内部层、多介质、非线性问题的稳定性好且易于实现的多尺度稳定化有限元方法及其理论；处理奇异解，采用L2 投影方法，构造局部多尺度基与设计稳定化格式，最优逼近奇异解。重要结果是发展了有效求解奇异解新型多尺度稳定化有限元方法及其数值分析理论；发展了散度自由边界层解在多介质、非线性问题中高稳定、高效、高精度、低代价新型多尺度稳定化有限元方法及其数值分析理论。在本项目支持下共完成论著30篇（发表论著25篇，另投稿5篇）。在计算数学国际顶尖著名期刊上发表11篇论文，SIAM Journal on Numerical Analysis 2篇，Numerische Mathematik 2篇， Mathematics of Computation 1篇，Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 2篇，IMA Journal of Numerical Analysis 1篇，Journal of Scientific Computing 2篇，Journal of Computational Physics 1篇。