动态和粘弹性断裂力学分析的解析奇异单元

Effective numerical methods for crack problems play a very important role in analysis of structure with crack. In this project, the well performed methodology of symplectic dual approach for applied mechanics is applied to the numerical analyze of dynamic and viscoelastic fracture mechanics. Firstly, adaptive expansion time-domain method is used to separate time coordinate variable, and the original problem can be transformed into a series of recursive-form boundary value problem. Then, the boundary value problems are led into the symplectic space, the corresponding symplectic dual equations for analytical analyze are specified, and the analytical symplectic eigen-solution and special solution for regular domain are given. At last, a novel finite element with regular shape around the crack tips is selected, and the analytical singular finite element is constructed using the symplectic eigen-solution and special solution as interpolation functions. As construction progress of the singular finite element has fully considered the analytical solution of relative boundary value problem, the stress and displacement fields around crack tips can both be described accurately in the singular element, and the corresponding fracture parameters can be specified directly, also the new numerical method can perform very well with satisfactory numerical stability when relative crack problems are considered. Meanwhile, the singular element is connected with outside regular elements directly without any transition element, and refined mesh around crack tips is also unnecessary. Numerical analyze of dynamic and viscoelastic crack problems in the structure with arbitrary shapes can be solved effectively, and the expected fracture parameters can be specified directly with highly solving accuracy.

裂纹有效数值方法对于工程中含裂纹结构的分析是至关重要的。项目研究目标是将应用力学辛对偶体系的优秀方法论应用于动态和粘弹性断裂力学的数值分析。首先通过时域自适应展开法将时间变量分离，从而将待求解的问题转化为一系列递推形式的边值问题。然后将系列边值问题导入辛空间，给出相关问题解析分析的辛对偶方程组，以及规则区域的解析辛本征解和特解。最后针对裂纹尖端附近特殊选取的规则几何形状单元，采用解析辛本征解和特解为插值函数来构造一类解析的奇异单元。拟构建的奇异单元由于充分包含了相应边值问题的解析信息，因此它能非常精确地描述裂纹尖端附近应力场和位移场的特性，直接给出有关的断裂参数值，并且具有非常好的数值稳定性。同时它不需要使用过渡单元和局部网格加密，就能与奇异单元外选取的任意常规单元直接相结合，给出具有任意几何形状的动态和粘弹性断裂问题高精度、高效率的数值求解和分析手段。

裂纹问题普遍存在于工程结构中，它所引起的破坏事故往往会造成巨大的损失，因此断裂力学的研究对预防和控制裂纹引起的事故具有重大的实际意义。虽然动态和粘弹性断裂力学的研究已经取得了很多优秀的研究成果，但相比较其基本理论方面的研究，数值方法尤其是有限元法方面还存在一些不足之处。本项目首先通过时域自适应展开法将时间变量分离，从而将动态和粘弹性断裂力学问题转化为一系列递推形式的边值问题。然后将系列边值问题导入极坐标辛几何空间，给出相关问题的解析辛本征解和特解。最后在裂纹尖端区域选择特殊几何形状的单元，并在单元内采用解析辛本征解和特解为插值函数来构造一类解析的奇异单元。本项目先后构造出可用于单材料、多材料界面裂纹等动态断裂问题和粘弹性断裂问题数值分析的一系列解析奇异单元，并将其扩展应用于裂纹扩展和粘聚裂纹扩展问题的数值分析。本项目所构建的系列奇异单元由于充分包含了相应力学边值问题的解析信息，因此无需在裂纹尖端进行稠密的网格划分和使用过渡单元就可以直接得到应力强度因子、应变能释放率和裂纹尖端张开位移等断裂参数的高精度数值结果。同时奇异单元大小在相当大的范围内都是有效的，并具有很好的数值稳定性，有效解决了使用传统单元时断裂参数的数值结果对有限元网格划分的敏感性问题。本项目的研究成果为工程界相关问题的分析提供一类有效的、高精度的数值分析手段。